Теорема Топкисса - Topkiss theorem

В математическая экономика, Теорема Топкиса результат, который полезен для установления сравнительная статика. Теорема позволяет исследователям понять, как изменяется оптимальное значение переменной выбора при изменении характеристики окружающей среды. Результат утверждает, что если ж является супермодульный в (Икс,θ), и D это решетка, тогда ${\displaystyle x^{*}(\theta )=\arg \max _{x\in D}f(x,\theta )}$ не убывает в θ. Результат особенно полезен для установления сравнительных статических результатов, когда целевая функция не дифференцируема.

Пример

Этот пример покажет, как использование теоремы Топкиса дает тот же результат, что и использование более стандартных инструментов. Преимущество использования теоремы Топкиса состоит в том, что ее можно применить к более широкому классу проблем, чем можно изучить с помощью стандартных экономических инструментов.

Водитель едет по шоссе и должен выбрать скорость, s. Желательно ехать быстрее, но это с большей вероятностью приведет к аварии. Есть некоторое преобладание выбоин, п. Наличие выбоин увеличивает вероятность аварии. Обратите внимание, что s переменная выбора и п - параметр среды, который фиксируется с точки зрения водителя. Водитель стремится ${\displaystyle \max _{s}U(s,p)}$.

Хотелось бы понять, как скорость водителя (переменная выбора) меняется в зависимости от количества выбоин:

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}.}$

Если кто-то хочет решить проблему стандартными инструментами, такими как теорема о неявной функции, можно было бы предположить, что проблема решена правильно: U(.) дважды непрерывно дифференцируема, вогнута в s, что область, над которой s определено выпукло, и что существует единственный максимизатор ${\displaystyle s^{\ast }(p)}$ для каждого значения п и это ${\displaystyle s^{\ast }(p)}$ находится внутри набора, над которым s определено. Обратите внимание, что оптимальная скорость зависит от количества выбоин. Принимая условие первого порядка, мы знаем, что при оптимуме ${\displaystyle U_{s}(s^{\ast }(p),p)=0}$. Дифференцируя условие первого порядка по п и используя теорему о неявной функции, находим, что

${\displaystyle U_{ss}(s^{\ast }(p),p)(\partial s^{\ast }(p)/(\partial p))+U_{sp}(s^{\ast }(p),p)=0}$

или это

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}={\underset {{\text{negative since we assumed }}U(.){\text{ was concave in }}s}{\underbrace {\frac {-U_{sp}(s^{\ast }(p),p)}{U_{ss}(s^{\ast }(p),p)}} }}.}$

Так,

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}{\overset {\text{sign}}{=}}U_{sp}(s^{\ast }(p),p).}$

Если s и п заменители,

${\displaystyle U_{sp}(s^{\ast }(p),p)<0}$

и поэтому

${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}<0}$

чем больше выбоин, тем меньше скорость. Ясно, что разумнее предположить, что это заменители.

Проблема с описанным выше подходом состоит в том, что он основан на дифференцируемости целевой функции и вогнутости. Мы могли бы получить тот же ответ, используя теорему Топкиса следующим образом. Мы хотим показать, что ${\displaystyle U(s,p)}$ субмодулярна (противоположна супермодульному) в ${\displaystyle \left(s,p\right)}$. Обратите внимание, что набор выбора явно представляет собой решетку. Крест частичный U быть отрицательным, ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial s\,\partial p}}<0}$, является достаточным условием. Следовательно, если ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial s\,\partial p}}<0,}$ мы знаем это ${\displaystyle {\frac {\partial s^{\ast }(p)}{\partial p}}<0}$.

Следовательно, используя теорема о неявной функции и теорема Топкиса дает тот же результат, но последняя делает это с меньшим количеством предположений.

Примечания и ссылки

• Амир, Рабах (2005). «Супермодульность и дополнительность в экономике: элементарный обзор». Южный экономический журнал. 71 (3): 636–660. Дои:10.2307/20062066. JSTOR  20062066.
• Топкис, Дональд М. (1978). «Минимизация субмодульной функции на решетке». Исследование операций. 26 (2): 305–321. CiteSeerX  10.1.1.557.5908. Дои:10.1287 / opre.26.2.305.
• Топкис, Дональд М. (1998). Супермодульность и дополнительность. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-03244-3.