Теорема Тихонова (динамические системы) - Tikhonovs theorem (dynamical systems)

В прикладной математике Теорема Тихонова о динамических системах является результатом устойчивости решений систем дифференциальные уравнения. Он имеет приложения для химическая кинетика.^[1][2] Теорема названа в честь Андрей Николаевич Тихонов.

Заявление

Рассмотрим эту систему дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}&=\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t),\\\mu {\frac {d\mathbf {z} }{dt}}&=\mathbf {g} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t).\end{aligned}}}$

Принимая предел как ${\displaystyle \mu \to 0}$, это становится "вырожденной системой":

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}&=\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t),\\\mathbf {z} &=\varphi (\mathbf {x} ,t),\end{aligned}}}$

где второе уравнение является решением алгебраического уравнения

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t)=0.}$

Обратите внимание, что таких функций может быть несколько. ${\displaystyle \varphi }$.

Теорема Тихонова утверждает, что при ${\displaystyle \mu \to 0,}$ решение системы двух вышеупомянутых дифференциальных уравнений приближается к решению вырожденной системы, если ${\displaystyle \mathbf {z} =\varphi (\mathbf {x} ,t)}$ устойчивый корень «присоединенной системы»

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {z} }{dt}}=\mathbf {g} (\mathbf {x} ,\mathbf {z} ,t).}$

Рекомендации

1. Клоновски, Влодзимеж (1983). «Принципы упрощения для химических и Кинетика ферментативной реакции ". Биофизическая химия. 18 (2): 73–87. Дои:10.1016/0301-4622(83)85001-7.
2. Руссель, Марк Р. (19 октября 2005 г.). «Теория сингулярных возмущений» (PDF). Конспект лекций.