Уравнение тонкой пленки - Thin-film equation

В физике и технике уравнение тонкой пленки это уравнение в частных производных что приблизительно предсказывает временную эволюцию толщины час пленки жидкости, лежащей на поверхности. Уравнение выводится через теория смазки который основан на предположении, что масштабы длины в направлениях к поверхности значительно больше, чем в направлении, перпендикулярном поверхности. В безразмерном виде Навье-Стокса уравнение требуется, чтобы условия порядка ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$ и ${\displaystyle \epsilon ^{2}Re}$ незначительны, где ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$ это соотношение сторон и ${\displaystyle Re}$ это Число Рейнольда. Это значительно упрощает основные уравнения. Однако теория смазки, как следует из названия, обычно основана на потоке между двумя твердыми поверхностями, поэтому жидкость образует смазочный слой. Уравнение тонкой пленки выполняется, когда есть одна свободная поверхность. При двух свободных поверхностях поток следует рассматривать как вязкий лист.^[1][2].

Определение

Основная форма двумерного уравнения тонкой пленки:^[3][4][5]

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {Q} }$

где поток жидкости ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ является

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {h^{3}}{3\mu }}\left[\nabla \right(\gamma \nabla ^{2}h+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{n}} )+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ]+{\frac {h^{2}}{2\mu }}\mathbf {A} }$ ,

и μ это вязкость (или динамическая вязкость) жидкости, час(Икс,у,т) - толщина пленки, γ это межфазное натяжение между жидкой и газовой фазой над ней, ${\displaystyle \rho }$ это жидкость плотность и ${\displaystyle \mathbf {A} }$ поверхностный сдвиг. Поверхностный сдвиг может быть вызван потоком вышележащего газа или градиентами поверхностного натяжения.^[6][7]. Векторы ${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{i}} }$ представляют единичный вектор в направлениях координат поверхности, а скалярное произведение служит для идентификации составляющей силы тяжести в каждом направлении. Вектор ${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{n}} }$ - единичный вектор, перпендикулярный поверхности.

Обобщенное уравнение тонкой пленки обсуждается в ^[5]

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{n}\,\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h\right)\right)}$ .

Когда ${\displaystyle n<3}$ это может представлять течение со скольжением по всей твердой поверхности ${\displaystyle n=1}$ описывает толщину тонкой перемычки между двумя массами жидкости в Клетка Хеле-Шоу^[8]. Значение ${\displaystyle n=3}$ представляет поток, управляемый поверхностным натяжением.

Форма, часто исследуемая в отношении разрыва тонких пленок жидкости, включает добавление разъединяющее давление Π (час) в уравнении,^[9] как в

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{3}\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h-\Pi (h)\right)\right)}$

где функция Π (час) обычно очень мало для средних и больших толщин пленки. час и очень быстро растет, когда час идет очень близко к нулю.

Характеристики

Физические приложения, свойства и поведение решения уравнения тонкой пленки рассматриваются в ^[3][5]. С включением изменение фазы на подложке формула уравнения тонкой пленки для произвольной поверхности выводится в ^[10]. Подробное исследование установившегося течения тонкой пленки вблизи движущейся контактной линии приведено в ^[11]. Для жидкость предела текучести течение, управляемое силой тяжести и поверхностным натяжением, исследуется в ^[12].

Для потока, управляемого чисто поверхностным натяжением, легко увидеть, что одно статическое (не зависящее от времени) решение представляет собой параболоид вращения

${\displaystyle h(x,y)=A-B(x^{2}+y^{2})\,}$

и это согласуется с экспериментально наблюдаемым сферическая крышка форма статического сидячая капля, поскольку "плоская" сферическая шапка, имеющая небольшую высоту, может быть точно аппроксимирована во втором порядке параболоидом. Это, однако, неправильно обрабатывает окружность капли, где значение функции час(Икс,у) падает до нуля и ниже, так как реальная физическая пленка жидкости не может иметь отрицательную толщину. Это одна из причин, по которой член расклинивающего давления Π (час) важен в теории.

Одна из возможных реалистичных форм расклинивающего члена давления:^[9]

${\displaystyle \Pi (h)=B\left[\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{n}-\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{m}\right]}$

куда B, час_*, м и п некоторые параметры. Эти константы и поверхностное натяжение ${\displaystyle \gamma }$ можно приблизительно связать с равновесием жидкость-твердое тело угол контакта ${\displaystyle \theta _{e}}$ через уравнение^[9][13]

${\displaystyle B\approx {\frac {(m-1)(n-1)}{h_{*}(n-m)}}\gamma (1-\cos \theta _{e})}$.

Уравнение тонкой пленки можно использовать для моделирования нескольких режимов поведения жидкостей, таких как нестабильность при движении под действием силы тяжести.^[14]

Отсутствие производной второго порядка по времени в уравнении тонкой пленки является результатом предположения о малом числе Рейнольдса при его выводе, что позволяет игнорировать инерционные члены, зависящие от плотности жидкости. ${\displaystyle \rho }$.^[14] Это в чем-то похоже на ситуацию с Уравнение вашберна, описывающий капиллярное течение жидкости в тонкой трубке.

Смотрите также

• Уравнение в частных производных
• Теория смазки
• Расклинивающее давление

Рекомендации

1. Флиерт, Б. В. Ван Де; Howell, P.D .; Оккенден, Дж. Р. (июнь 1995 г.). «Течение тонкого вязкого листа под давлением». Журнал гидромеханики. 292: 359–376. Дои:10.1017 / S002211209500156X. ISSN  1469-7645.
2. Buckmaster, J.D .; Нахман, А .; Тинг, Л. (май 1975 г.). «Изгибание и растяжение вискиды». Журнал гидромеханики. 69 (1): 1–20. Дои:10.1017 / S0022112075001279. ISSN  1469-7645.
3. А. Орон, С. Х. Дэвис, С. Г. Банкофф, "Длинномасштабная эволюция тонких жидких пленок", Rev. Mod. 1997. Т. 69. С. 931–980.
4. Х. Кнюпфер, "Классические решения уравнения тонкой пленки", докторская диссертация, Боннский университет.
5. Майерс, Т. Г. (январь 1998 г.). «Тонкие пленки с высоким поверхностным натяжением». SIAM Обзор. 40 (3): 441–462. Дои:10.1137 / S003614459529284X. ISSN  0036-1445.
6. О'Брайен, С. Б. Г. М. (сентябрь 1993 г.). «О сушке Марангони: нелинейные кинематические волны в тонкой пленке». Журнал гидромеханики. 254: 649–670. Дои:10.1017 / S0022112093002290. ISSN  0022-1120.
7. Myers, T. G .; Шарпен, Дж. П. Ф .; Томпсон, К. П. (январь 2002 г.). «Медленно нарастающий лед из-за воздействия переохлажденной воды на холодную поверхность». Физика жидкостей. 14 (1): 240–256. Дои:10.1063/1.1416186. ISSN  1070-6631.
8. Константин, Петр; Дюпон, Тодд Ф .; Гольдштейн, Раймонд Э .; Каданов, Лео П .; Шелли, Майкл Дж .; Чжоу, Су-Мин (1993-06-01). «Распад капли в модели клетки Хеле-Шоу». Физический обзор E. 47 (6): 4169–4181. Дои:10.1103 / PhysRevE.47.4169. ISSN  1063-651X.
9. Л. В. Шварц, Р. В. Рой, Р. Р. Элей, С. Петраш "Узоры смачивания в пленке высыхающей жидкости ", Журнал коллоидной и интерфейсной науки, 243, 363374 (2001).
10. Myers, T. G .; Шарпен, Дж. П. Ф .; Чепмен, С. Дж. (Август 2002 г.). «Течение и затвердевание тонкой пленки жидкости на произвольной трехмерной поверхности». Физика жидкостей. 14 (8): 2788–2803. Дои:10.1063/1.1488599. ISSN  1070-6631.
11. Tuck, E. O .; Шварц, Л. В. (сентябрь 1990 г.). «Численное и асимптотическое исследование некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка, относящихся к потокам слива и покрытия». SIAM Обзор. 32 (3): 453–469. Дои:10.1137/1032079. ISSN  0036-1445.
12. Балмфорт, Нил; Гаджа, Шилпа; Майерс, Тим (март 2007 г.). «Аппликатура вязкопластической пленки, управляемая поверхностным натяжением». Журнал механики неньютоновской жидкости. 142 (1–3): 143–149. Дои:10.1016 / j.jnnfm.2006.07.011.
13. Н.В. Чураев, В. Соболев, адв. Коллоидный интерфейс Sci. 61 (1995) 1–16
14. Л. Кондич, "Неустойчивости гравитационного течения тонких жидких пленок", SIAM Review, 45, 95–115 (2003).

внешняя ссылка

• Вязкие тонкие пленки - Институт Макса Планка