Теорема о теннисном мяче - Tennis ball theorem

А теннисный мяч

В геометрия, то теорема о теннисном мяче заявляет, что любой плавная кривая на поверхности сферы, которая делит сферу на два подмножества равной площади, не касаясь и не пересекаясь, должно иметь не менее четырех точки перегиба, точки, в которых кривая не изгибается последовательно только в одну сторону от ее касательная линия.[1]Теорема о теннисном мяче была впервые опубликована под этим названием А. Владимир Арнольд в 1994 г.[2][3] и часто приписывается Арнольду, но тесно связанный результат появляется ранее в статье 1968 г. Бениамино Сегре, а сама теорема о теннисном мячике является частным случаем теоремы из статьи Джоэла Л. Вайнера 1977 года.[4][5] Название теоремы происходит от стандартной формы теннисный мяч, шов которой образует кривую, удовлетворяющую условиям теоремы; такая же кривая используется для швов на бейсбольные мячи.[1]

Заявление

А именно, точка перегиба дважды непрерывно дифференцируемые () изгиб на поверхности сферы есть точка со следующим свойством: пусть компонент связности, содержащий пересечения кривой с ее касательной большой окружностью в точке . (Для большинства кривых просто будет сам по себе, но это также может быть дуга большого круга.) быть точкой перегиба, каждый район из должны содержать точки кривой, принадлежащие обоим полушариям, разделенным этим большим кругом. Теорема утверждает, что каждое Кривая, разделяющая сферу на две равновеликие компоненты, в этом смысле имеет как минимум четыре точки перегиба.[6]

Примеры

Швы теннисного мяча и бейсбола можно математически смоделировать с помощью кривой, состоящей из четырех полукруглых дуг, с ровно четырьмя точками перегиба, где встречаются пары этих дуг.[7]А большой круг также делит поверхность сферы пополам и имеет бесконечно много точек перегиба, по одной в каждой точке кривой. Однако условие, что кривая делит площадь поверхности сферы поровну, является необходимой частью теоремы. Другие кривые, которые не делят область поровну, например круги, которые не являются большими кругами, могут вообще не иметь точек перегиба.[1]

Доказательство сокращением кривой

Одно доказательство теоремы о теннисном мячике использует поток, сокращающий кривую, процесс непрерывного перемещения точек кривой к их локальному центры кривизны. Можно показать, что применение этого потока к данной кривой сохраняет гладкость и свойство деления площади пополам. Кроме того, по мере движения кривой количество ее точек перегиба никогда не увеличивается. Этот поток в конечном итоге приводит к тому, что кривая трансформируется в большой круг, а сходимость к этой окружности можно аппроксимировать Ряд Фурье. Поскольку сокращение кривой не меняет никакой другой большой окружности, первый член в этой серии равен нулю, и в сочетании с теоремой Штурм от числа нулей ряда Фурье показывает, что, когда кривая приближается к этому большому кругу, она имеет по крайней мере четыре точки перегиба. Следовательно, исходная кривая также имеет по крайней мере четыре точки перегиба.[8][9]

Связанные теоремы

Обобщение теоремы о теннисном мяче применимо к любой простой гладкой кривой на сфере, которая не содержится в замкнутом полушарии. Как и в исходной теореме о теннисном мячике, такие кривые должны иметь не менее четырех точек перегиба.[5][10] Если кривая на сфере центрально-симметричный, у него должно быть не менее шести точек перегиба.[10]

Близкая теорема Сегре (1968) касается и простых замкнутых сферических кривых. Если для такой кривой любая точка выпуклой оболочки гладкой кривой на сфере, не являющаяся вершиной кривой, то по крайней мере четыре точки кривой имеют соприкасающиеся самолеты проходя через . В частности, для кривой, не содержащейся в полусфере, эту теорему можно применить с в центре сферы. Каждая точка перегиба сферической кривой имеет соприкасающуюся плоскость, проходящую через центр сферы, но это может быть верно и для некоторых других точек.[4][5]

Эта теорема аналогична теорема о четырех вершинах, что каждый гладкий простая замкнутая кривая в самолете есть четыре вершины (крайние точки кривизны). Это также аналог теоремы Август Фердинанд Мёбиус что каждая несжимаемая гладкая кривая в проективная плоскость имеет не менее трех точек перегиба.[2][9]

Рекомендации

  1. ^ а б c Чемберленд, Марк (2015), "Теорема о теннисном мяче", Одиночные цифры: хвалят маленькие числа, Princeton University Press, Princeton, NJ, p. 114, Дои:10.1515/9781400865697, ISBN  978-0-691-16114-3, МИСТЕР  3328722
  2. ^ а б Мартинес-Мор, Ив (1996), "Заметка о теореме теннисного мяча", Американский математический ежемесячный журнал, 103 (4): 338–340, Дои:10.2307/2975192, МИСТЕР  1383672
  3. ^ Арнольд, В.И. (1994), «20. Теорема о теннисном мячике», Топологические инварианты плоских кривых и каустик, Серия университетских лекций, 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр.53–58, Дои:10.1090 / ulect / 005, ISBN  0-8218-0308-5, МИСТЕР  1286249
  4. ^ а б Сегре, Бениамино (1968), "Alcune proprietà Differenziali in grande delle curve chiuse sghembe", Rendiconti di Matematica, 1: 237–297, МИСТЕР  0243466
  5. ^ а б c Вайнер, Джоэл Л. (1977), «Глобальные свойства сферических кривых», Журнал дифференциальной геометрии, 12 (3): 425–434, МИСТЕР  0514446. Относительно теоремы о теннисном мяче (применимой в более общем смысле к кривым, не содержащимся в одном полушарии) см. Теорему 2, с. 427
  6. ^ Торбергссон, Гудлаугур; Умэхара, Масааки (1999), "Единый подход к четырем теоремам о вершинах II", Табачников, Серж (ред.), Дифференциальная и симплектическая топология узлов и кривых., Амер. Математика. Soc. Пер. Сер. 2, 190, Амер. Математика. Soc., Providence, RI, стр. 229–252, Дои:10.1090 / транс2 / 190/12, МИСТЕР  1738398. См. В частности стр. 242–243.
  7. ^ Жюйе, Николас (5 апреля 2013 г.), "Voyage sur une balle de tennis", Images des mathématiques (на французском), CNRS
  8. ^ Овсиенко, В .; Табачников, С. (2005), Проективная дифференциальная геометрия, старая и новая: от производной Шварца к когомологиям групп диффеоморфизмов, Кембриджские трактаты по математике, 165, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 101, ISBN  0-521-83186-5, МИСТЕР  2177471
  9. ^ а б Ангенент, С. (1999), «Точки перегиба, экстремальные точки и сокращение кривой» (PDF), Гамильтоновы системы с тремя или более степенями свободы (S'Agaró, 1995), НАТО Adv. Sci. Inst. Сер. C Math. Phys. Наук, 533, Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., Pp. 3–10, МИСТЕР  1720878
  10. ^ а б Пак, Игорь (20 апреля 2010 г.), «Теоремы 21.22–21.24, стр. 203», Лекции по дискретной и многогранной геометрии

внешняя ссылка