Теорема Теллегенса - Tellegens theorem

Теорема Теллегена одна из самых сильных теорем в теория сети. Из него можно вывести большинство теорем о распределении энергии и принципов экстремума в теории сетей. Он был опубликован в 1952 г. Бернар Теллеген.^[1] По сути, теорема Теллегена дает простую связь между величинами, которые удовлетворяют Законы Кирхгофа электрических теория цепей.

Теорема Теллегена применима ко множеству сетевых систем. Основными допущениями для систем являются сохранение потока экстенсивных величин (Действующий закон Кирхгофа, KCL) и уникальность потенциалов в узлах сети (Закон напряжения Кирхгофа, КВЛ). Теорема Теллегена предоставляет полезный инструмент для анализа сложных сетевых систем, включая электрические цепи, биологический и метаболические сети, трубопроводный транспорт сети и химический процесс сети.

Теорема

Рассмотрим произвольную сеть с сосредоточенными параметрами, график которой ${\displaystyle G}$ имеет ${\displaystyle b}$ отделения и ${\displaystyle n_{t}}$ узлы. В электрической сети ответвления - это двухполюсные компоненты, а узлы - это точки соединения. Предположим, что каждой ветви графа мы произвольно назначаем разность потенциалов ветвей ${\displaystyle W_{k}}$ и ветвь тока ${\displaystyle F_{k}}$ за ${\displaystyle k=1,2,\dots ,b}$, и предположим, что они измеряются относительно произвольно выбранных связанный справочные направления. Если разности потенциалов ветвей ${\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}}$ удовлетворяют всем ограничениям, налагаемым КВЛ, и если токи ответвления ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}}$ удовлетворяют всем ограничениям, налагаемым KCL, то

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}$

Теорема Теллегена чрезвычайно общая; это справедливо для любой сосредоточенной сети, содержащей любые элементы, линейный или нелинейный, пассивный или активный, изменяющийся во времени или неизменный во времени. Общность расширяется, когда ${\displaystyle W_{k}}$ и ${\displaystyle F_{k}}$ являются линейными операциями на множестве разностей потенциалов и на множестве токов ответвления (соответственно), поскольку линейные операции не влияют на KVL и KCL. Например, линейная операция может быть средней или Преобразование Лапласа. В более общем смысле операторы, которые сохраняют KVL, называются операторами напряжения Кирхгофа, операторы, которые сохраняют KCL, называются операторами тока Кирхгофа, а операторы, которые сохраняют оба, просто называются операторами Кирхгофа. Эти операторы не обязательно должны быть линейными для справедливости теоремы Теллегена.^[2]

Набор токов также может быть выбран в другое время из набора разностей потенциалов, поскольку KVL и KCL верны во все моменты времени. Другое расширение - когда набор потенциальных разностей ${\displaystyle W_{k}}$ от одной сети и множества токов ${\displaystyle F_{k}}$ принадлежит совершенно другой сети, если две сети имеют одинаковую топологию (одинаковую матрица инцидентности ) Теорема Теллегена остается верной. Это расширение теоремы Теллегена приводит ко многим теоремам, относящимся к двухпортовым сетям.^[3]

Определения

Нам нужно ввести несколько необходимых определений сетей, чтобы обеспечить компактное доказательство.

Матрица заболеваемости:В ${\displaystyle n_{t}\times n_{f}}$ матрица ${\displaystyle \mathbf {A_{a}} }$ называется матрицей инцидентности от узла к ответвлению для элементов матрицы ${\displaystyle a_{ij}}$ существование

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{if flow }}j{\text{ leaves node }}i\\-1,&{\text{if flow }}j{\text{ enters node }}i\\0,&{\text{if flow }}j{\text{ is not incident with node }}i\end{cases}}}$

Базовый или базовый узел ${\displaystyle P_{0}}$ вводится для представления среды и связан со всеми динамическими узлами и терминалами. В ${\displaystyle (n_{t}-1)\times n_{f}}$ матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$, где строка, содержащая элементы ${\displaystyle a_{0j}}$ опорного узла ${\displaystyle P_{0}}$ исключается, называется приведенной матрицей инцидентности.

В законы сохранения (KCL) в векторно-матричной форме:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

В условие единственности потенциалов (КВЛ) в векторно-матричной форме:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }$

куда ${\displaystyle w_{k}}$ абсолютные потенциалы в узлах до опорного узла ${\displaystyle P_{0}}$.

Доказательство

Используя KVL:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}}$

потому что ${\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0} }$ пользователя KCL. Так:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}$

Приложения

Сетевые аналоги были созданы для самых разных физических систем и оказались чрезвычайно полезными при анализе их динамического поведения. Классической областью применения теории сетей и теоремы Теллегена является теория электрических цепей. Он в основном используется для разработки фильтров в приложениях обработки сигналов.

Более позднее применение теоремы Теллегена относится к области химических и биологических процессов. Допущения для электрических цепей (законы Кирхгофа) обобщены для динамических систем, подчиняющихся законам необратимой термодинамики. Топология и структура реакционных сетей (механизмы реакции, метаболические сети) могут быть проанализированы с помощью теоремы Теллегена.

Еще одно применение теоремы Теллегена - определение стабильности и оптимальности сложных технологических систем, таких как химические заводы или системы добычи нефти. Теорема Теллегена может быть сформулирована для технологических систем, использующих технологические узлы, терминалы, соединения потоков и допускающих приемники и источники для производства или уничтожения больших количеств.

Формулировка теоремы Теллегена о технологических системах:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{n_{f}}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

куда ${\displaystyle p_{j}}$ сроки производства, ${\displaystyle t_{j}}$ терминальные соединения, и ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}$ являются терминами динамического хранения для обширных переменных.

Рекомендации

Встроенные ссылки

1. Теллеген, Б. Д. Х. (1952). «Общая сетевая теорема с приложениями». Отчеты об исследованиях Philips. 7: 259–269.
2. Пенфилд, П. (1970). «Обобщенная форма теоремы Теллегена» (PDF). IEEE Transactions по теории цепей. КТ-17: 302–305. Получено 8 ноября, 2016.
3. Теорема Теллегена и электрические сети Пол Пенфилд младший, Роберт Спенс и Саймон Дуинкер, MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1970

Общие ссылки

• Основная теория схем автор: C.A. Десоэр и Э. Кух, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1969 г.
• «Теорема Теллегена и термодинамические неравенства», Г.Ф. Остер и К.А. Desoer, J. Theor. Биол 32 (1971), 219–241
• «Сетевые методы в моделях производства», Дональд Ватсон, Сети, 10 (1980), 1–15

внешняя ссылка

• Пример схемы для теоремы Теллегена
• Г.Ф. Остер и К.А. Desoer, Теорема Теллегена и термодинамические неравенства
• Сетевая термодинамика