Телескопическая цепь Маркова - Telescoping Markov chain

В теория вероятности, а телескопическая цепь Маркова (ТМС) векторнозначный случайный процесс что удовлетворяет Марковская собственность и допускает иерархический формат через сеть матриц перехода с каскадной зависимостью.

Для любого ${\displaystyle N>1}$ рассмотрите множество пространств ${\displaystyle \{{\mathcal {S}}^{\ell }\}_{\ell =1}^{N}}$. Иерархический процесс ${\displaystyle \theta _{k}}$ определены в пространстве продукта

${\displaystyle \theta _{k}=(\theta _{k}^{1},\ldots ,\theta _{k}^{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}}$

называется TMC, если существует набор ядер переходной вероятности ${\displaystyle \{\Lambda ^{n}\}_{n=1}^{N}}$ такой, что

1. ${\displaystyle \theta _{k}^{1}}$ это Цепь Маркова с матрицей вероятности перехода ${\displaystyle \Lambda ^{1}}$

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{k}^{1}=s\mid \theta _{k-1}^{1}=r)=\Lambda ^{1}(s\mid r)}$

2. есть каскадная зависимость на каждом уровне иерархии,

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{k}^{n}=s\mid \theta _{k-1}^{n}=r,\theta _{k}^{n-1}=t)=\Lambda ^{n}(s\mid r,t)}$ для всех ${\displaystyle n\geq 2.}$

3. ${\displaystyle \theta _{k}}$ удовлетворяет марковскому свойству с переходным ядром, которое может быть записано в терминах ${\displaystyle \Lambda }$s,

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{k+1}={\vec {s}}\mid \theta _{k}={\vec {r}})=\Lambda ^{1}(s_{1}\mid r_{1})\prod _{\ell =2}^{N}\Lambda ^{\ell }(s_{\ell }\mid r_{\ell },s_{\ell -1})}$

куда ${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},\ldots ,s_{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}}$ и ${\displaystyle {\vec {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}.}$