Уравнение Тэйта - Tait equation

В механика жидкости, то Уравнение Тэйта является уравнение состояния, используется для обозначения жидкости плотность к давление. Уравнение было первоначально опубликовано Питер Гатри Тейт в 1888 г. в виде^[1]

${\displaystyle {\frac {V_{0}-V}{(P-P_{0})V_{0}}}=-{\frac {1}{V_{0}}}{\frac {\Delta V}{\Delta P}}={\frac {A}{\Pi +(P-P_{0})}}}$

куда ${\displaystyle P_{0}}$ - эталонное давление (принимаемое равным 1 атмосфере), ${\displaystyle P}$ текущее давление, ${\displaystyle V_{0}}$ объем пресной воды при эталонном давлении, ${\displaystyle V}$ - объем при текущем давлении, а ${\displaystyle A,\Pi }$ параметры, определяемые экспериментально.

Популярная форма уравнения Тейта

Около 1895 г.^[1] исходное изотермическое уравнение Тэта было заменено уравнением Таммана уравнением вида

${\displaystyle -{\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dP}}={\frac {A}{V(B+P)}}\,.}$

Зависящая от температуры версия приведенного выше уравнения широко известна как Уравнение Тэйта и обычно записывается как^[2]

${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}={\frac {0.4343C}{V(B+P)}}}$

или в интегрированной форме

${\displaystyle V=V_{0}-C\log _{10}\left({\frac {B+P}{B+P_{0}}}\right)}$

куда

• ${\displaystyle \beta }$ это сжимаемость вещества (часто, воды ) (в единицах бар⁻¹ или Па)
• ${\displaystyle V\ }$ это удельный объем вещества (в единицах мл /грамм или м³/кг)
• ${\displaystyle V_{0}}$ это удельный объем при ${\displaystyle P=P_{0}}$ = 1 бар
• ${\displaystyle B\ }$ и ${\displaystyle C\ }$ являются функциями температура которые не зависят от давления^[2]

Формула давления

Выражение для давления через удельный объем имеет вид

${\displaystyle P=(B+P_{0})\,10^{\left[-{\cfrac {V-V_{0}}{C}}\right]}-B\,.}$

Формула объемного модуля

Касательный объемный модуль упругости при давлении ${\displaystyle P}$ дан кем-то

${\displaystyle K={\frac {V(B+P)}{0.4343C}}={\cfrac {\left[V_{0}-C\log _{10}\left({\cfrac {B+P}{B+P_{0}}}\right)\right](B+P)}{0.4343C}}\,.}$

Уравнение состояния Мурнагана-Тейта

Удельный объем как функция давления, предсказываемый уравнением состояния Тейта-Мурнагана.

Еще одно популярное изотермическое уравнение состояния, известное под названием «уравнение Тейта».^[3][4] это Модель Мурнагана^[5] что иногда выражается как

${\displaystyle {\frac {V}{V_{0}}}=\left[1+{\frac {n}{K_{0}}}\,(P-P_{0})\right]^{-1/n}}$

куда ${\displaystyle V}$ - удельный объем при давлении ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle V_{0}}$ - удельный объем при давлении ${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle K_{0}}$ объемный модуль при ${\displaystyle P_{0}}$, и ${\displaystyle n}$ материальный параметр.

Формула давления

Это уравнение в форме давления можно записать как

${\displaystyle P={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}={\frac {K_{0}}{n}}\left[\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{n}-1\right]+P_{0}.}$

куда ${\displaystyle \rho ,\rho _{0}}$ массовые плотности при ${\displaystyle P,P_{0}}$соответственно, для чистой воды типичными параметрами являются ${\displaystyle P_{0}}$ = 101,325 Па, ${\displaystyle \rho _{0}}$ = 1000 кг / куб.м, ${\displaystyle K_{0}}$ = 2,15 ГПа и ${\displaystyle n}$ = 7.15^{[нужна цитата ]}.

Обратите внимание, что эта форма уравнения состояния Тейта идентична форме уравнения состояния Уравнение состояния Мурнагана.

Формула объемного модуля

Касательный объемный модуль упругости, предсказанный моделью Макдональда-Тейта, равен

${\displaystyle K=K_{0}\left({\frac {V_{0}}{V}}\right)^{n}\,.}$

Уравнение состояния Тумлирца-Таммана-Тейта

Уравнение состояния Тумлирца-Таммана-Тейта, основанное на аппроксимации экспериментальных данных для чистой воды.

Связанное уравнение состояния, которое можно использовать для моделирования жидкостей, - это Тумлирз уравнение (иногда называемое Уравнение Таммана и первоначально предложенный Тумлирцем в 1909 г. и Тамманном в 1911 г. для чистой воды).^[1][6] Это отношение имеет вид

${\displaystyle V(P,S,T)=V_{\infty }-K_{1}S+{\frac {\lambda }{P_{0}+K_{2}S+P}}}$

куда ${\displaystyle V(P,S,T)}$ - удельный объем, ${\displaystyle P}$ давление, ${\displaystyle S}$ соленость, ${\displaystyle T}$ это температура, а ${\displaystyle V_{\infty }}$ это удельный объем, когда ${\displaystyle P=\infty }$, и ${\displaystyle K_{1},K_{2},P_{0}}$ являются параметрами, которые могут соответствовать экспериментальным данным.

Версия Тумлирца-Таммана уравнения Тейта для пресной воды, т. Е. Когда ${\displaystyle S=0}$, является

${\displaystyle V=V_{\infty }+{\frac {\lambda }{P_{0}+P}}\,.}$

Для чистой воды температурная зависимость ${\displaystyle V_{\infty },\lambda ,P_{0}}$ находятся:^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=1788.316+21.55053\,T-0.4695911\,T^{2}+3.096363\times 10^{-3}\,T^{3}-0.7341182\times 10^{-5}\,T^{4}\\P_{0}&=5918.499+58.05267\,T-1.1253317\,T^{2}+6.6123869\times 10^{-3}\,T^{3}-1.4661625\times 10^{-5}\,T^{4}\\V_{\infty }&=0.6980547-0.7435626\times 10^{-3}\,T+0.3704258\times 10^{-4}\,T^{2}-0.6315724\times 10^{-6}\,T^{3}\\&+0.9829576\times 10^{-8}\,T^{4}-0.1197269\times 10^{-9}\,T^{5}+0.1005461\times 10^{-11}\,T^{6}\\&-0.5437898\times 10^{-14}\,T^{7}+0.169946\times 10^{-16}\,T^{8}-0.2295063\times 10^{-19}\,T^{9}\end{aligned}}}$

В приведенных выше случаях температура ${\displaystyle T}$ в градусах Цельсия, ${\displaystyle P_{0}}$ находится в барах, ${\displaystyle V_{\infty }}$ находится в кубических сантиметрах / грамм, а ${\displaystyle \lambda }$ находится в барах-куб. см / г.

Формула давления

Обратное соотношение Тумлирца-Таммана-Тейта для давления как функции удельного объема имеет вид

${\displaystyle P={\frac {\lambda }{V-V_{\infty }}}-P_{0}\,.}$

Формула объемного модуля

Формула Тумлирца-Таммана-Тейта для мгновенной касательной объемный модуль чистой воды является квадратичной функцией ${\displaystyle P}$ (альтернативу см. ^[1])

${\displaystyle K=-V\,{\frac {\partial P}{\partial V}}={\frac {V\,\lambda }{(V-V_{\infty })^{2}}}=(P_{0}+P)+{\frac {V_{\infty }}{\lambda }}(P_{0}+P)^{2}\,.}$

Смотрите также

• Уравнение состояния

Рекомендации

1. Хейворд, А. Т. Дж. (1967). Уравнения сжимаемости жидкостей: сравнительное исследование. Британский журнал прикладной физики, 18 (7), 965. http://mitran-lab.amath.unc.edu:8081/subversion/Lithotripsy/MultiphysicsFocusing/biblio/TaitEquationOfState/Hayward_CompressEqnsLiquidsComparative1967.pdf
2. Ли, Юань-Хуэй (15 мая 1967 г.). «Уравнение состояния воды и морской воды» (PDF). Журнал геофизических исследований. Палисейдс, Нью-Йорк. 72 (10): 2665. Bibcode:1967JGR .... 72.2665L. Дои:10.1029 / JZ072i010p02665.
3. Томпсон, П. А., и Биверс, Г. С. (1972). Динамика сжимаемых жидкостей. Журнал прикладной механики, 39, 366.
4. Кедринский, В. К. (2006). Гидродинамика взрыва: эксперименты и модели. Springer Science & Business Media.
5. Макдональд, Дж. Р. (1966). Некоторые простые изотермические уравнения состояния. Обзоры современной физики, 38 (4), 669.
6. Фишер Ф. Х. и Диал О. Э. Мл. Уравнение состояния чистой воды и морской воды. № МПЛ-У-99/67. SCRIPPS INSTITUTION OF OCEANOGRAPHY LA JOLLA CA MARINE PHYSICAL LAB, 1975. http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a017775.pdf