Симметричные компоненты - Symmetrical components

В электротехника, метод симметричные компоненты упрощает анализ несбалансированных трехфазный энергосистемы как в нормальных, так и в ненормальных условиях. Основная идея состоит в том, что асимметричный набор N фазоры можно выразить как линейная комбинация из N симметричные наборы векторов с помощью сложный линейное преобразование.^[1]

В наиболее распространенном случае трехфазных систем образующиеся «симметричные» компоненты называют непосредственный (или же положительный), обратный (или же отрицательный) и нуль (или же униполярный). Анализ энергосистемы намного проще в области симметричных компонентов, поскольку полученные уравнения взаимно линейно независимый если сама схема сбалансированный.^{[нужна цитата ]}

Описание

Набор из трех несбалансированных векторов и необходимых симметричных компонентов, которые суммируются для результирующего графика внизу.

В 1918 г. Шарль Легейт Фортескью представил документ^[2] который продемонстрировал, что любой набор из N несбалансированных фазоры (то есть любой такой многофазный signal) может быть выражено как сумма N симметричных наборов сбалансированных векторов для значений N, которые являются простыми. Только одна частотная составляющая представлена ​​векторами.

В 1943 г. Эдит Кларк опубликовал учебник, в котором описан метод использования симметричных компонентов для трехфазных систем, который значительно упростил вычисления по сравнению с исходной статьей Fortescue. ^[3] В трехфазной системе один набор векторов имеет одинаковый последовательность фаз в качестве исследуемой системы (положительная последовательность; скажем, ABC) второй набор имеет обратную последовательность фаз (обратная последовательность; ACB), а в третьем наборе векторы A, B и C находятся в фазе друг с другом (нулевая последовательность, то синфазный сигнал ). По сути, этот метод преобразует три несбалансированные фазы в три независимых источника, что делает асимметричный разлом анализ более послушный.

Расширяя однолинейная схема чтобы показать импедансы прямой, обратной и нулевой последовательности генераторы, трансформаторы и другие устройства, включая воздушные линии и кабели, анализ таких несимметричных состояний, как короткое замыкание одной линии на землю, значительно упрощается. Этот метод также можно распространить на фазовые системы более высокого порядка.

Физически в трехфазной системе набор токов прямой последовательности создает нормальное вращающееся поле, набор обратной последовательности создает поле с противоположным вращением, а набор нулевой последовательности создает поле, которое колеблется, но не вращается между фазными обмотками. Поскольку эти эффекты могут быть обнаружены физически с помощью фильтров последовательности, математический инструмент стал основой для разработки защитные реле, который использовал напряжения и токи обратной последовательности в качестве надежного индикатора аварийных состояний. Такие реле могут использоваться для отключения Автоматические выключатели или предпримите другие меры для защиты электрических систем.

Аналитический метод был принят и усовершенствован инженерами компании General Electric и Westinghouse, и после Вторая Мировая Война он стал общепринятым методом анализа асимметричных неисправностей.

Как показано на рисунке справа вверху, три набора симметричных компонентов (положительная, отрицательная и нулевая последовательность) складываются, чтобы создать систему из трех несбалансированных фаз, как показано в нижней части диаграммы. Дисбаланс между фазами возникает из-за разницы в величине и фазовом сдвиге между наборами векторов. Обратите внимание, что цвета (красный, синий и желтый) отдельных векторов последовательности соответствуют трем различным фазам (например, A, B и C). Чтобы получить окончательный график, вычисляется сумма векторов каждой фазы. Этот результирующий вектор является эффективным векторным представлением этой конкретной фазы. Этот процесс, повторяющийся, производит вектор для каждой из трех фаз.

Трехфазный корпус

Симметричные компоненты чаще всего используются для анализа трехфазные системы электроснабжения. Напряжение или ток трехфазной системы в какой-то момент может быть обозначено тремя векторами, называемыми тремя составляющими напряжения или тока.

В этой статье обсуждается напряжение, однако те же соображения применимы и к току. В идеально сбалансированной трехфазной системе питания компоненты вектора напряжения имеют равные величины, но разнесены на 120 градусов. В несбалансированной системе величины и фазы составляющих вектора напряжения различны.

Разложение компонентов вектора напряжения на набор симметричных компонентов помогает анализировать систему, а также визуализировать любые дисбалансы. Если три составляющие напряжения выражаются как фазоры (которые являются комплексными числами) может быть сформирован комплексный вектор, в котором три фазовых компонента являются компонентами вектора. Вектор для трех фазных составляющих напряжения можно записать как

${\displaystyle \mathbf {v} _{abc}={\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}}$

и разложение вектора на три симметричных компонента дает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{a}\\V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{a,0}\\V_{b,0}\\V_{c,0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,1}\\V_{b,1}\\V_{c,1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{a,2}\\V_{b,2}\\V_{c,2}\end{bmatrix}}}$

где нижние индексы 0, 1 и 2 относятся соответственно к нулевой, положительной и отрицательной компонентам последовательности. Компоненты последовательности различаются только фазовыми углами, которые являются симметричными и поэтому ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{3}}\pi }$ радианы или 120 °.

Матрица

Определите оператор поворота вектора ${\displaystyle \alpha }$, который поворачивает вектор векторов против часовой стрелки на 120 градусов:

${\displaystyle \alpha \equiv e^{{\frac {2}{3}}\pi i}}$.

Обратите внимание, что ${\displaystyle \alpha ^{3}=1}$ так что ${\displaystyle \alpha ^{-1}=\alpha ^{2}}$.

Компоненты нулевой последовательности имеют одинаковую величину и находятся в фазе друг с другом, поэтому:

${\displaystyle V_{0}\equiv V_{a,0}=V_{b,0}=V_{c,0}}$,

и другие последовательности фаз имеют ту же величину, но их фазы различаются на 120 °:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&\equiv V_{a,1}=\alpha V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{c,1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2}&\equiv V_{a,2}=\alpha ^{2}V_{b,2}=\alpha V_{c,2}\end{aligned}}}$,

означающий, что

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,1}=\alpha ^{2}V_{1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,1}=\alpha V_{1}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{b,2}=\alpha V_{2}\end{aligned}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{c,2}=\alpha ^{2}V_{2}\end{aligned}}}$.

Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{abc}&={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{0}\\V_{0}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{1}\\\alpha ^{2}V_{1}\\\alpha V_{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}V_{2}\\\alpha V_{2}\\\alpha ^{2}V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}\\&={\textbf {A}}\mathbf {v} _{012}\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\begin{bmatrix}V_{0}\\V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}},{\textbf {A}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha ^{2}&\alpha \\1&\alpha &\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$

В системах с обратным чередованием фаз аналогичным образом может быть получена следующая матрица

${\displaystyle {\textbf {Aacb}}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

Разложение

Компоненты последовательности выводятся из уравнения анализа

${\displaystyle \mathbf {v} _{012}={\textbf {A}}^{-1}\mathbf {v} _{abc}}$

куда

${\displaystyle {\textbf {A}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\alpha &\alpha ^{2}\\1&\alpha ^{2}&\alpha \end{bmatrix}}}$

Приведенные выше два уравнения говорят, как вывести симметричные компоненты, соответствующие асимметричному набору из трех векторов:

• Последовательность 0 составляет одну треть суммы исходных трех векторов.
• Последовательность 1 составляет одну треть суммы исходных трех векторов, повернутых против часовой стрелки на 0 °, 120 ° и 240 °.
• Последовательность 2 составляет одну треть суммы исходных трех векторов, повернутых по часовой стрелке на 0 °, 240 ° и 120 °.

Визуально, если исходные компоненты симметричны, каждая из последовательностей 0 и 2 будет образовывать треугольник, сумма которых равна нулю, а компоненты последовательности 1 будут составлять прямую линию.

Интуиция

Теорема Наполеона: если треугольники с центром L, M, и N равносторонние, то и зеленый треугольник.

Фазоры ${\displaystyle \scriptstyle V_{(ab)}=V_{(a)}-V_{(b)};\;V_{(bc)}=V_{(b)}-V_{(c)};\;V_{(ca)}=V_{(c)}-V_{(a)}}$ образуют замкнутый треугольник (например, внешние напряжения или линейные напряжения). Чтобы найти синхронные и обратные компоненты фаз, возьмите любую сторону внешнего треугольника и нарисуйте два возможных равносторонних треугольника, разделяющих выбранную сторону, в качестве основы. Эти два равносторонних треугольника представляют собой синхронную и обратную системы.

Если бы векторы V были идеально синхронной системой, вершина внешнего треугольника не на базовой линии была бы в том же положении, что и соответствующая вершина равностороннего треугольника, представляющего синхронную систему. Любое количество обратной составляющей означало бы отклонение от этой позиции. Отклонение ровно в 3 раза больше, чем составляющая обратной фазы.

Синхронная составляющая аналогичным образом в 3 раза больше отклонения от «обратного равностороннего треугольника». Направления этих компонентов верны для соответствующей фазы. Кажется нелогичным, что это работает для всех трех фаз независимо от выбранной стороны, но в этом вся прелесть этой иллюстрации. Графика взята из Теорема Наполеона, который соответствует графической методике расчета, которая иногда встречается в старых справочниках.^[4]

Полифазный корпус

Видно, что приведенная выше матрица преобразования представляет собой дискретное преобразование Фурье, и поэтому симметричные компоненты могут быть рассчитаны для любой многофазной системы.

Вклад гармоник в симметричные составляющие в 3-фазных энергосистемах

Гармоники часто возникают в энергосистемах как следствие нелинейных нагрузок. Каждый порядок гармоник вносит свой вклад в разные компоненты последовательности. Гармоники порядка ${\displaystyle \scriptstyle 2n}$ не вносить вклада. Гармоники порядка ${\displaystyle \scriptstyle 3+6n}$ вносят вклад в нулевую последовательность. Гармоники порядка ${\displaystyle \scriptstyle 5+6n}$ вносят вклад в отрицательную последовательность. Гармоники порядка ${\displaystyle \scriptstyle 7+6n}$ способствовать положительной последовательности.

Обратите внимание, что приведенные выше правила применимы только в том случае, если значения фазы (или искажения) точно такие же.

Последствия составляющей нулевой последовательности в энергосистемах

Нулевая последовательность представляет собой составляющую несбалансированных векторов, равную по величине и фазе. Поскольку они находятся в фазе, токи нулевой последовательности, протекающие через n-фазную сеть, в сумме в n раз превышают величину отдельных составляющих токов нулевой последовательности. В нормальных условиях эксплуатации эта сумма достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь. Однако во время крупных событий нулевой последовательности, таких как удары молнии, эта ненулевая сумма токов может привести к большему току, протекающему через нейтральный проводник, чем через отдельные фазные проводники. Поскольку нейтральные проводники обычно не больше, чем отдельные фазные проводники, и часто меньше, чем эти проводники, большая составляющая нулевой последовательности может привести к перегреву нейтральных проводов и к пожарам.

Одним из способов предотвращения больших токов нулевой последовательности является использование соединения треугольником, которое проявляется как разомкнутая цепь для токов нулевой последовательности. По этой причине большая часть передачи и большая часть суб-передачи реализована с использованием дельты. Большая часть распространения также реализована с использованием дельты, хотя системы распространения «старых работ» иногда «дорабатывались» (преобразовывались из дельта к уай ), чтобы увеличить пропускную способность линии при низкой конвертируемой стоимости, но за счет более высокой стоимости защитного реле центральной станции.

Смотрите также

• Симметрия
• Преобразование dqo
• Альфа – бета преобразование

Рекомендации

Примечания

1. Хаджсаид, Нуредин; Сабоннадьер, Жан-Клод (2013). Энергетические системы и реструктуризация. Джон Вили и сыновья. п. 244. ISBN  9781118599921.
2. Чарльз Л. Фортескью "Метод симметричных координат применительно к решению многофазных сетей. ". Представлено на 34-м ежегодном съезде AIEE (Американского института инженеров-электриков) в Атлантик-Сити, штат Нью-Джерси, 28 июня 1918 г. Опубликовано в: AIEE транзакции, т. 37, часть II, страницы 1027–1140 (1918). Краткую историю первых лет теории симметричных компонентов см .: J. Lewis Blackburn, Симметричные компоненты для энергетики (Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, 1993), страницы 3–4.
3. Габриэль Касс-Саймон, Патрисия Фарнс, Дебора Нэш (редактор), Женщины-ученые: устанавливая рекорд , Издательство Индианского университета, 1993 г., ISBN  0253208130. страницы 164-168
4. Wagner, C.F .; Эванс, Р. Д. (1933). Симметричные компоненты. Нью-Йорк и Лондон: Макгроу Хилл. п. 265.

Библиография

• Дж. Льюис Блэкберн Симметричные компоненты для проектирования энергосистем, Марсель Деккер, Нью-Йорк (1993). ISBN  0-8247-8767-6
• Уильям Д. Стивенсон младший Элементы анализа энергосистемы, третье издание, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк (1975). ISBN  0-07-061285-4.
• Историческая статья из IEEE о раннем развитии симметричных компонентов, получено 12 мая 2005 г.
• Корпорация Вестингауз, Прикладное защитное реле, 1976, Westinghouse Corporation, без ISBN, номер карточки Библиотеки Конгресса. 76-8060 - стандартный справочник по электромеханическим реле защиты