Формула Сильвестра - Sylvesters formula

В матричная теория, Формула Сильвестра или же Матричная теорема Сильвестра (названный в честь Дж. Дж. Сильвестр ) или же Интерполяция Лагранжа-Сильвестра выражает аналитический функция ж(А) из матрица А как полином от А, с точки зрения собственные значения и собственные векторы из А.^[1][2] В нем говорится, что^[3]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{k}f(\lambda _{i})~A_{i}~,}$

где λ_я являются собственными значениями А, а матрицы

${\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\left(A-\lambda _{j}I\right)}$

соответствующие Коварианты Фробениуса из А, которые являются (проекционной) матрицей Полиномы Лагранжа из А.

Условия

Формула Сильвестра применима к любому диагонализуемая матрица А с k различные собственные значения, λ₁, …, λ_k, и любая функция ж определены на некотором подмножестве сложные числа такой, что ж(А) хорошо определено. Последнее условие означает, что каждое собственное значение λ_я находится в сфере ж, и что каждое собственное значение λ_я с множеством м_я > 1 находится внутри области, причем ж существование (м_я — 1) раз дифференцируемые в λ_я.^{[1]:По умолчанию 6.4}

Пример

Рассмотрим матрицу два на два:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица имеет два собственных значения: 5 и −2. Его коварианты Фробениуса таковы:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A+2I}{5-(-2)}}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A-5I}{-2-5}}.\end{aligned}}}$

Тогда формула Сильвестра составляет

${\displaystyle f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}.\,}$

Например, если ж определяется ж(Икс) = Икс⁻¹, то формула Сильвестра выражает матрицу, обратную ж(А) = А⁻¹ в качестве

${\displaystyle {\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0.2&0.3\\0.4&-0.1\end{bmatrix}}.}$

Обобщение

Формула Сильвестра действительна только для диагонализуемые матрицы; продление А. Буххайма на основе Интерполирующие многочлены Эрмита, охватывает общий случай:^[4]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})\left(A-\lambda _{i}I\right)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\left(A-\lambda _{j}I\right)^{n_{j}}\right]}$,

куда ${\displaystyle \phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}}$.

Краткую форму далее дает Швердтфегер:^[5]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}I)^{j}}$,

куда А_я соответствующие Коварианты Фробениуса из А

Смотрите также

• Адъюгированная матрица
• Голоморфное функциональное исчисление
• Резольвентный формализм

Рекомендации

1. / Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа. Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-46713-1
2. Джон Ф. Клаербут (1976), Матричная теорема Сильвестра, раздел Основы обработки геофизических данных. Онлайн-версия на sepwww.stanford.edu, дата обращения 14 марта 2010 г.
3. Сильвестр, Дж. Дж. (1883). «XXXIX. Об уравнении вековых неравенств в планетарной теории». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал. 16 (100): 267–269. Дои:10.1080/14786448308627430. ISSN  1941-5982.
4. Буххайм, А. (1884). «К теории матриц». Труды Лондонского математического общества. s1-16 (1): 63–82. Дои:10.1112 / плмс / с1-16.1.63. ISSN  0024-6115.
5. Швердтфегер, Ганс (1938). Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes. I, Том 1. Париж, Франция: Германн.

• F.R. Гантмахер, Теория матриц v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN  0-8218-1376-5 , стр 101-103
• Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции матриц: теория и вычисления. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN  9780898717778. OCLC  693957820.
• Мерцбахер, Э (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Являюсь. J. Phys. 36 (9): 814–821. Дои:10.1119/1.1975154.