Критерий Сильвестра - Sylvesters criterion

В математике Критерий Сильвестра это необходимо и достаточно критерий для определения того, Эрмитова матрица является положительно определенный. Он назван в честь Джеймс Джозеф Сильвестр.

Критерий Сильвестра утверждает, что эрмитова матрица M положительно определен тогда и только тогда, когда все следующие матрицы имеют положительную детерминант:

• левый верхний угол 1 на 1 M,
• левый верхний угол 2 на 2 M,
• левый верхний угол 3 на 3 M,
• ${\displaystyle {}\quad \vdots }$
• M сам.

Другими словами, все ведущие основные несовершеннолетние должен быть положительным.

Аналогичная теорема верна для характеристики положительно-полуопределенный Эрмитовы матрицы, за исключением того, что уже недостаточно рассматривать только ведущий основные миноры: эрмитова матрица M положительно-полуопределённо тогда и только тогда, когда все основные несовершеннолетние из M неотрицательны.^[1][2]

Доказательство

Доказательство предназначено только для неособых Эрмитова матрица с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, поэтому только для неособый вещественно-симметричные матрицы.

Положительно определенная или полуопределенная матрица: Симметричная матрица А собственные значения которого положительны (λ > 0) называется положительно определенный, а когда собственные значения просто неотрицательны (λ ≥ 0), А как говорят положительно полуопределенный.

Теорема I: Вещественно-симметричная матрица А имеет неотрицательные собственные значения тогда и только тогда, когда А может быть учтено как А = B^ТB, а все собственные значения положительны тогда и только тогда, когда B неособое.^[3]

Доказательство:

Прямое значение: Если А ∈ рп×п симметрично, то по спектральная теорема, существует ортогональная матрица п такой, что А = PDP^Т , куда D = диаг (λ1, λ2, . . . , λп) - вещественная диагональная матрица, элементы которой являются собственными значениями А и п таков, что его столбцы являются собственными векторами А. Если λя ≥ 0 для каждого я, тогда D^1/2 существует, поэтому А = PDP^Т = PD^1/2D^1/2пТ = BТB за B = D^1/2пТ, и λя > 0 для каждого я если и только если B неособое. Обратное следствие:Наоборот, если А может быть учтено как А = B^ТB, то все собственные значения А неотрицательны, поскольку для любой собственной пары (λ, Икс): ${\displaystyle \lambda ={\frac {x^{T}Ax}{x^{T}x}}={\frac {x^{T}B^{T}Bx}{x^{T}x}}={\frac {\|Bx\|^{2}}{\|x\|^{2}}}\geq 0.}$

Теорема II (разложение Холецкого): Симметричная матрица А имеет положительные точки поворота тогда и только тогда, когда А можно однозначно разложить на множители как А = R^Тр, куда р - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами. Это известно как Разложение Холецкого из А, и р называется фактором Холецкого А.^[4]

Доказательство:

Прямое значение: Если А имеет положительные точки разворота (поэтому А обладает LU факторизация: А = L·U'), то он имеет LDU факторизация А = LDU = ЛПНП^Т в котором D = диаг (ты11, ты22, . . . , тыnn) - диагональная матрица, содержащая стержни тыii > 0. ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=LU'={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\\ell _{12}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\ell _{1n}&\ell _{2n}&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&\cdots &u_{1n}\\0&u_{22}&\cdots &u_{2n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &u_{nn}\end{bmatrix}}\\[8pt]&=LDU={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\\ell _{12}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\ell _{1n}&\ell _{2n}&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&0&\cdots &0\\0&u_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &u_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&u_{12}/u_{11}&\cdots &u_{1n}/u_{11}\\0&1&\cdots &u_{2n}/u_{22}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$ По свойству уникальности LDU разложение, симметрия А дает: U = L^Т, как следствие А = LDU = ЛПНПТ. Параметр р = D^1/2LТ куда D^1/2 = диаг (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {u_{11}}},\scriptstyle {\sqrt {u_{22}}},\ldots ,\scriptstyle {\sqrt {u_{11}}}}$) дает желаемую факторизацию, поскольку А = LD^1/2D^1/2LТ = рТр, и р является верхнетреугольным с положительными диагональными элементами. Обратное следствие: Наоборот, если А = RRТ, куда р является нижним треугольником с положительной диагональю, то вынесение диагональных элементов из р как следует: ${\displaystyle \mathbf {R} =LD={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\r_{12}/r_{11}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\r_{1n}/r_{11}&r_{2n}/r_{22}&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}r_{11}&0&\cdots &0\\0&r_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &r_{nn}\end{bmatrix}}.}$ р = LD, куда L - нижнетреугольная матрица с единичной диагональю и D - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются рii S. Следовательно D имеет положительную диагональ и, следовательно, D неособен. Следовательно D^2 - невырожденная диагональная матрица. Также, LТ - верхнетреугольная матрица с единичной диагональю. Как следствие, А = LD^2LТ это LDU факторизация для А, и, следовательно, точки поворота должны быть положительными, поскольку они являются диагональными элементами вD^2. Уникальность разложения Холецкого: Если у нас есть еще одно разложение Холецкого А = р1р1Т из А, куда р1 является нижним треугольником с положительной диагональю, то аналогично предыдущему мы можем написать р1 = L1D1, куда L1 - нижнетреугольная матрица с единичной диагональю и D1 диагональная матрица, диагональные элементы которой совпадают с соответствующими диагональными элементами матрицы р1. Как следствие, А = L1D1^2L1Т является LDU факторизация для А. Уникальностью LDU факторизация А, у нас есть L1 = L и D1^2 = D^2. Как оба D1 и D - диагональные матрицы с положительными диагональными элементами, имеем D1 = D. Следовательно р1 = L1D1 = LD = р. Следовательно А имеет уникальное разложение Холецкого.

Теорема III. Позволять А_k быть k × k ведущая главная подматрица А_п×п. Если А имеет LU факторизация А = LU, куда L - нижнетреугольная матрица с единичной диагональю, то det (А_k) = ты₁₁ты₂₂ · · · ты_кк, а k-й стержень ты_кк = det (А₁) = а₁₁ за k = 1, ты_кк = det (А_k) / det (А_k−1) за k = 2, 3, . . . , п, куда ты_кк это (k, k) -я запись U для всех k = 1, 2, . . . , п.^[5]

Объединение Теорема II. с Теорема III. дает:

Заявление I: Если симметричная матрица А может быть учтено как А = R^Тр где R - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами, то все стержни А положительные (по Теорема II.), поэтому все ведущие главные миноры А положительные (по Теорема III.).

Положение II: Если неособое п × п симметричная матрица А может быть учтено как ${\displaystyle A=B^{T}B}$, то QR-разложение (тесно связанный с Процесс Грама-Шмидта ) из B (B = QR) дает: ${\displaystyle A=B^{T}B=R^{T}Q^{T}QR=R^{T}R}$, куда Q является ортогональная матрица и р верхний треугольная матрица.

В качестве А неособен и ${\displaystyle A=R^{T}R}$, следует, что все диагональные элементы р не равны нулю. Позволять р_jj быть (j, j) -я запись E для всех j = 1, 2, . . . , п. потом р_jj ≠ 0 для всех j = 1, 2, . . . , п.

Позволять F - диагональная матрица, и пусть ж_jj быть (j, j) -я запись F для всех j = 1, 2, . . . , п. Для всех j = 1, 2, . . . , п, мы установили ж_jj = 1, если р_jj > 0, и положим ж_jj = -1, если р_jj <0. Тогда ${\displaystyle F^{T}F=I_{n}}$, то п × п единичная матрица.

Позволять S=FR. потом S является верхнетреугольной матрицей, все диагональные элементы которой положительны. Следовательно, мы имеем ${\displaystyle A=R^{T}R=R^{T}F^{T}FR=S^{T}S}$, для некоторой верхнетреугольной матрицы S все диагональные записи положительны.

А именно Заявление II требует невырожденности симметричной матрицы А.

Объединение Теорема I. с Заявление I и Заявление II дает:

Положение III: Если вещественно-симметричная матрица А положительно определен, тогда А обладать факторизацией формы А = B^ТB, куда B неособое (Теорема I.), выражение А = B^ТB подразумевает, что А обладать факторизацией формы А = р^Тр куда р - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами (Заявление II), поэтому все ведущие главные миноры А положительные (Заявление I).

Другими словами, Заявление III доказывает, что часть "только если" Критерий Сильвестра для неособых вещественно-симметричных матриц.

Критерий Сильвестра: Действительно-симметричная матрица А положительно определен тогда и только тогда, когда все ведущие главные миноры А положительные.

Примечания

1. Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 7.6 Положительно определенные матрицы, стр. 566
2. Пруссинг, Джон Э. (1986), "Главный минорный тест для полуопределенных матриц" (PDF), Журнал наведения, управления и динамики, 9 (1): 121–122, архивировано с оригинал (PDF) на 2017-01-07, получено 2017-09-28
3. Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 7.6 Положительно определенные матрицы, стр. 558
4. Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 3.10 Факторизация LU, Пример 3.10.7, стр.154
5. Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 6.1 Детерминанты, Упражнение 6.1.16, стр. 474

Рекомендации

• Гилберт, Джордж Т. (1991), "Положительно определенные матрицы и критерий Сильвестра", Американский математический ежемесячник, Математическая ассоциация Америки, 98 (1): 44–46, Дои:10.2307/2324036, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324036.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38632-6. См. Теорему 7.2.5.
• Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, СИАМ, ISBN  0-89871-454-0.