Правило сумм в квантовой механике - Sum rule in quantum mechanics

В квантовая механика, а правило сумм представляет собой формулу переходов между уровнями энергии, в которой сумма сил переходов выражена в простой форме. Правила сумм используются для описания свойств многих физических систем, включая твердые тела, атомы, атомные ядра и ядерные составляющие, такие как протоны и нейтроны.

Правила сумм основаны на общих принципах и полезны в ситуациях, когда поведение отдельных уровней энергии слишком сложно для описания точной квантово-механической теорией. Как правило, правила сумм выводятся с использованием Гейзенберг квантово-механической алгебры для построения операторных равенств, которые затем применяются к частицам или энергетическим уровням системы.

Вывод правил сумм^[1]

Предположим, что Гамильтониан ${displaystyle {hat {H}}}$ имеет полный набор собственных функций ${displaystyle |nangle }$ с собственными значениями${displaystyle E_{n}}$:

${displaystyle {hat {H}}|nangle =E_{n}|nangle .}$

Для Эрмитов оператор ${displaystyle {hat {A}}}$ мы определяем связанный коммутатор ${displaystyle {hat {C}}^{(k)}}$ итеративно:

${displaystyle {egin{aligned}{hat {C}}^{(0)}&equiv {hat {A}}{hat {C}}^{(1)}&equiv [{hat {H}},{hat {A}}]={hat {H}}{hat {A}}-{hat {A}}{hat {H}}{hat {C}}^{(k)}&equiv [{hat {H}},{hat {C}}^{(k-1)}], k=1,2,ldots end{aligned}}}$

Оператор ${displaystyle {hat {C}}^{(0)}}$ эрмитов, поскольку ${displaystyle {hat {A}}}$определяется как эрмитово. Оператор ${displaystyle {hat {C}}^{(1)}}$ исантиэрмитский:

${displaystyle left({hat {C}}^{(1)}ight)^{dagger }=({hat {H}}{hat {A}})^{dagger }-({hat {A}}{hat {H}})^{dagger }={hat {A}}{hat {H}}-{hat {H}}{hat {A}}=-{hat {C}}^{(1)}.}$

По индукции находим:

${displaystyle left({hat {C}}^{(k)}ight)^{dagger }=(-1)^{k}{hat {C}}^{(k)}}$

а также

${displaystyle langle m|{hat {C}}^{(k)}|nangle =(E_{m}-E_{n})^{k}langle m|{hat {A}}|nangle .}$

Для эрмитова оператора имеем

${displaystyle |langle m|{hat {A}}|nangle |^{2}=langle m|{hat {A}}|nangle langle m|{hat {A}}|nangle ^{ast }=langle m|{hat {A}}|nangle langle n|{hat {A}}|mangle .}$

Используя это соотношение, получаем:

${displaystyle {egin{aligned}langle m|[{hat {A}},{hat {C}}^{(k)}]|mangle &=langle m|{hat {A}}{hat {C}}^{(k)}|mangle -langle m|{hat {C}}^{(k)}{hat {A}}|mangle &=sum _{n}langle m|{hat {A}}|nangle langle n|{hat {C}}^{(k)}|mangle -langle m|{hat {C}}^{(k)}|nangle langle n|{hat {A}}|mangle &=sum _{n}langle m|{hat {A}}|nangle langle n|{hat {A}}|mangle (E_{n}-E_{m})^{k}-(E_{m}-E_{n})^{k}langle m|{hat {A}}|nangle langle n|{hat {A}}|mangle &=sum _{n}(1-(-1)^{k})(E_{n}-E_{m})^{k}|langle m|{hat {A}}|nangle |^{2}.end{aligned}}}$

Результат можно записать как

${displaystyle langle m|[{hat {A}},{hat {C}}^{(k)}]|mangle ={egin{cases}0,&{mbox{if }}k{mbox{ is even}}2sum _{n}(E_{n}-E_{m})^{k}|langle m|{hat {A}}|nangle |^{2},&{mbox{if }}k{mbox{ is odd}}.end{cases}}}$

За ${displaystyle k=1}$ это дает:

${displaystyle langle m|[{hat {A}},[{hat {H}},{hat {A}}]]|mangle =2sum _{n}(E_{n}-E_{m})|langle m|{hat {A}}|nangle |^{2}.}$

пример

Увидеть сила осциллятора.

Рекомендации

1. Ван, Сану (1999-07-01). «Обобщение правил сумм Томаса-Райхе-Куна и Бете». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 60 (1): 262–266. Дои:10.1103 / Physreva.60.262. ISSN  1050-2947.