Оператор Стокса - Stokes operator

В Оператор Стокса, названный в честь Джордж Габриэль Стоукс, является неограниченным линейный оператор используется в теории уравнения в частных производных, особенно в области динамика жидкостей и электромагнетизм.

Определение

Если мы определим ${\displaystyle P_{\sigma }}$ как Проекция Лере на расхождение свободный векторные поля, то оператор Стокса ${\displaystyle A}$ определяется

${\displaystyle A:=-P_{\sigma }\Delta ,}$

куда ${\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}}$ это Лапласиан. С ${\displaystyle A}$ неограничен, мы также должны указать его область определения, которая определяется как ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=H^{2}\cap V}$, куда ${\displaystyle V=\{{\vec {u}}\in (H_{0}^{1}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0\}}$. Здесь, ${\displaystyle \Omega }$ ограниченное открытое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (обычно п = 2 или 3), ${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$ и ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ являются стандартными Соболевские пространства, а расхождение ${\displaystyle {\vec {u}}}$ взят в распределение смысл.

Характеристики

Для данного домена ${\displaystyle \Omega }$ который открыт, ограничен и имеет ${\displaystyle C^{2}}$ граница, оператор Стокса ${\displaystyle A}$ это самосопряженный положительно определенный оператор по отношению к ${\displaystyle L^{2}}$ внутренний продукт. Он имеет ортонормированный базис собственных функций ${\displaystyle \{w_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ соответствующие собственным значениям ${\displaystyle \{\lambda _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ которые удовлетворяют

${\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}\leq \lambda _{3}\cdots \leq \lambda _{k}\leq \cdots }$

и ${\displaystyle \lambda _{k}\rightarrow \infty }$ в качестве ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Обратите внимание, что наименьшее собственное значение уникально и не равно нулю. Эти свойства позволяют определять степени оператора Стокса. Позволять ${\displaystyle \alpha >0}$ быть реальным числом. Мы определяем ${\displaystyle A^{\alpha }}$ своим действием на ${\displaystyle {\vec {u}}\in {\mathcal {D}}(A)}$:

${\displaystyle A^{\alpha }{\vec {u}}=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}^{\alpha }u_{k}{\vec {w_{k}}}}$

куда ${\displaystyle u_{k}:=({\vec {u}},{\vec {w_{k}}})}$ и ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ это ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ внутренний продукт.

Обратное ${\displaystyle A^{-1}}$ оператора Стокса - ограниченный компактный самосопряженный оператор в пространстве ${\displaystyle H:=\{{\vec {u}}\in (L^{2}(\Omega ))^{n}|\operatorname {div} \,{\vec {u}}=0{\text{ and }}\gamma ({\vec {u}})=0\}}$, куда ${\displaystyle \gamma }$ это оператор трассировки. Более того, ${\displaystyle A^{-1}:H\rightarrow V}$ инъективно.

Рекомендации

• Темам, Роджер (2001), Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ, AMS Chelsea Publishing, ISBN  0-8218-2737-5
• Константин, Петр и Фояс, Киприан. Уравнения Навье-Стокса., University of Chicago Press, (1988)