Математическая теория для анализа структуры фондового рынка и поведения портфелей
| Тема этой статьи может не соответствовать Википедии общее руководство по известности. Пожалуйста, помогите установить известность, указав надежные вторичные источники которые независимый темы и обеспечить ее подробное освещение, помимо банального упоминания. Если известность не может быть установлена, статья, вероятно, будет слился, перенаправлен, или же удалено. Найдите источники: «Теория стохастического портфеля» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Январь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
Теория стохастического портфеля (SPT) представляет собой математическую теорию для анализа структуры фондового рынка и поведения портфеля, введенную Э. Робертом Фернхольцем в 2002 году. Она носит описательный характер, а не нормативный, и согласуется с наблюдаемым поведением реальных рынков. Нормативные допущения, которые служат основой для более ранних теорий, таких как современная теория портфолио (MPT) и модель ценообразования основных средств (CAPM), отсутствуют в SPT.
SPT использует непрерывное время случайные процессы (в частности, непрерывные полумартингалы) для представления цен отдельных ценных бумаг. Процессы с разрывами, такие как скачки, также включены в теорию.
Акции, портфели и рынки
SPT считает акции и фондовые рынки, но его методы могут быть применены к другим классам ресурсы также. Акция представлена процессом ее цены, обычно в логарифмическое представление. В случае рынок представляет собой набор процессов цены акций
за
каждый определяется непрерывным семимартингал

куда
является
-размерный Броуновское движение (Винеровский) процесс с
, а процессы
и
находятся постепенно измеримый относительно броуновской фильтрации
. В этом представлении
называется (составной) скорость роста из
и ковариация между
и
является
Часто предполагается, что для всех
процесс
положительно, локально квадратично интегрируемый, и не растет слишком быстро, как 
Логарифмическое представление эквивалентно классическому арифметическому представлению, в котором используется норма прибыли
однако темпы роста могут быть значимым индикатором долгосрочных результатов финансового актива, в то время как норма доходности имеет тенденцию к повышению. Связь между нормой прибыли и темпами роста:

Обычно в SPT принято считать, что каждая акция имеет в обращении одну акцию, поэтому
представляет собой общую капитализацию
-й запас за раз
и
- общая капитализация рынка. Дивиденды могут быть включены в это представление, но для простоты они здесь опущены.
An инвестиционная стратегия
- вектор ограниченных прогрессивно измеримых процессов; количество
представляет собой долю от общего богатства, вложенного в
-й запас на момент
, и
- это доля накопленных (вложенных на денежный рынок с нулевой процентной ставкой). Отрицательные веса соответствуют коротким позициям. Денежная стратегия
сохраняет все богатство на денежном рынке. Стратегия
называется портфолио, если он полностью вложен в фондовый рынок, то есть
держит, всегда.
В процесс оценки
стратегии
всегда позитивен и удовлетворяет

где процесс
называется процесс избыточной скорости роста и дается

Это выражение неотрицательно для портфеля с неотрицательными весами.
и был использован в квадратичная оптимизация портфелей акций, частным случаем которых является оптимизация по логарифмической функции полезности.
В процессы рыночного веса,

куда
определить рыночный портфель
. С начальным условием
связанный процесс создания ценности удовлетворит
для всех 
На рисунке 1 показана энтропия фондового рынка США за период с 1980 по 2012 год, а на оси показано среднее значение за период. Хотя энтропия со временем колеблется, ее поведение указывает на определенную стабильность фондового рынка. Характеристика этой устойчивости - одна из целей SPT.
На рынок может быть наложен ряд условий, иногда для моделирования реальных рынков, а иногда для подчеркивания определенных типов гипотетического рыночного поведения. Некоторые часто вызываемые условия:
- Рынок - это невырожденный если собственные значения ковариационная матрица
отделены от нуля. Она имеет ограниченная дисперсия если собственные значения ограничены. - Рынок - это последовательный если
для всех 
- Рынок - это разнообразный на
если существует
такой, что
за ![t in [0, T].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8e2f835cfc03e4e8cc9a96ce842784448e9075)
- Рынок - это слабо разнообразный на
если существует
такой, что

Разнообразие и слабое разнообразие - это довольно слабые условия, а рынки, как правило, гораздо более разнообразны, чем можно было бы испытать этими крайностями. Мера разнообразия рынка рыночная энтропия, определяется

Стохастическая устойчивость
На рисунке 2 показаны (ранжированные) кривые распределения капитала на конец каждого из последних девяти десятилетий. Этот график логарифмических данных демонстрирует замечательную стабильность в течение длительных периодов времени. Исследование такой устойчивости - одна из основных целей SPT.
На рисунке 3 показаны процессы «совокупной текучести» на различных должностях в течение десятилетия. Как и ожидалось, объем оборота увеличивается при спуске по лестнице капитализации. Также наблюдается выраженный линейный рост во времени по всем отображаемым рангам.
Рассмотрим векторный процесс
с
из ранжированные рыночные веса

где связи разрешаются «лексикографически», всегда в пользу самого низкого индекса. Бревна

куда
и
являются непрерывными неотрицательными семимартингалами; мы обозначим через
их местное время в начале координат. Эти количества измеряют величину текучести между рангами.
и
в течение промежутка времени
.
Рынок называется стохастически устойчивый, если
сходится в распределении в качестве
к случайному вектору
со значениями в Камера Вейля
единичного симплекса, и если сильный закон больших чисел

выполняется для подходящих действительных констант 
Арбитраж и нумерационная собственность
Учитывая любые две инвестиционные стратегии
и реальное число
мы говорим, что
является арбитраж относительно
за временной горизонт
, если
и
оба держатся; этот относительный арбитраж называется «сильным», если
Когда
является
мы восстанавливаем обычное определение арбитража относительно наличных денег. Мы говорим, что данная стратегия
имеет numeraire свойство, если для любой стратегии
Соотношение
это
−supermartingale. В таком случае процесс
называется «дефлятором» рынка.
Нет арбитраж возможно на любом заданном временном горизонте относительно стратегии
который имеет свойство numeraire (либо относительно базовой вероятностной меры
, или относительно любой другой вероятностной меры, которая эквивалентна
). Стратегия
со свойством numeraire максимизирует асимптотический темп роста от инвестиций в том смысле, что

справедливо для любой стратегии
; он также максимизирует ожидаемую логарифмическую полезность инвестиций в том смысле, что для любой стратегии
и реальное число
у нас есть
![{ mathbb {E}} [ log (Z _ { pi} (T)] leq { mathbb {E}} [ log (Z _ { nu} (T))].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1183e042b9dd563c02892e2932d847710d7edb02)
Если вектор
мгновенных ставок доходности, а матрица
мгновенных ковариаций, то стратегия

имеет свойство numeraire всякий раз, когда достигается указанный максимум.
Исследование числового портфеля связывает SPT с так называемым эталонным подходом к математическим финансам, который принимает такой числовой портфель как данность и обеспечивает способ оценки условных требований без каких-либо дополнительных предположений.
Вероятностная мера
называется эквивалентная мера мартингала (EMM) на заданном временном горизонте
, если он имеет такие же нулевые наборы, что и
на
, а если процессы
с
все
−martingales. Предполагая, что такая EMM существует, арбитраж невозможен на
относительно наличных денег
или в рыночный портфель
(или, в более общем смысле, относительно любой стратегии
чей процесс богатства
это мартингейл под каким-то EMM). Наоборот, если
являются портфелями, и один из них является арбитражем относительно другого на
тогда на этом горизонте не может существовать никакого EMM.
Функционально сгенерированные портфели
Предположим, нам дана гладкая функция
в каком-то районе
единичного симплекса в
. Мы называем

то портфель, созданный функцией
. Можно показать, что все веса этого портфеля неотрицательны, если его производящая функция
вогнутая. В мягких условиях относительная эффективность этого функционально сформированного портфеля
относительно рыночного портфеля
, дается F-G разложение

в котором нет стохастических интегралов. Здесь выражение

называется процесс дрейфа портфеля (и это неотрицательная величина, если производящая функция
вогнутая); и количества

с
называются относительные ковариации между
и
по отношению к рынку.
Примеры
- Постоянная функция
генерирует рыночный портфель
, - Функция среднего геометрического
генерирует равновзвешенный портфель
для всех
, - Модифицированная функция энтропии
для любого
генерирует модифицированный энтропийно-взвешенный портфель, - Функция
с
генерирует портфель с учетом разнообразия
с процесс дрейфа
.
Арбитраж относительно рынка
Чрезмерный темп роста рыночного портфеля допускает представление
как средневзвешенную по капитализации относительную дисперсию запасов. Эта величина неотрицательна; если он отделен от нуля, а именно

для всех
для некоторой реальной постоянной
, то с помощью разложения F-G можно показать, что для любого
существует постоянная
для которого модифицированный энтропийный портфель
это строгий арбитраж относительно рынка
над
; см. подробности в Fernholz and Karatzas (2005). Вопрос о том, существует ли такой арбитраж на произвольных временных горизонтах, остается открытым (для двух особых случаев, когда ответ на этот вопрос оказывается положительным, см. Параграф ниже и следующий раздел).
Если собственные значения ковариационной матрицы
отделены как от нуля, так и от бесконечности, условие
можно показать, что это эквивалентно разнообразию, а именно
для подходящего
Тогда портфель с учетом разнообразия
приводит к жесткому арбитражу по отношению к рыночному портфелю на достаточно длительных временных горизонтах; тогда как подходящие модификации этого взвешенного по разнообразию портфеля реализуют такой строгий арбитраж на произвольных временных горизонтах.
Пример: рынки со стабилизированной волатильностью
Рассмотрим на примере системы стохастические дифференциальные уравнения

с
учитывая реальные константы
и
-мерное броуновское движение
Из работы Басса и Перкинса (2002) следует, что эта система имеет слабое решение, уникальное по распределению. Фернхольц и Каратсас (2005) показывают, как построить это решение в терминах масштабированного и измененного во времени квадрата Бесселевские процессы, и докажите, что полученная система является когерентной.
Общая рыночная капитализация
ведет себя здесь как геометрическое броуновское движение с дрейфом и имеет такую же постоянную скорость роста, как и самая крупная акция; тогда как избыточная скорость роста рыночного портфеля является положительной константой. С другой стороны, относительные рыночные веса
с
иметь динамику мультиаллеля Процессы Райта-Фишера. Эта модель является примером недиверсифицированного рынка с неограниченными отклонениями, на котором сильные арбитражные возможности по отношению к рыночному портфелю
существовать над произвольные временные горизонты, как было показано Баннером и Фернхольцем (2008). Более того, Пал (2012) вывел общую плотность рыночных весов в фиксированные моменты времени и в определенные моменты остановки.
Ранговые портфели
Фиксируем целое число
и построить два портфеля, взвешенных по капитализации: один, состоящий из
акции, обозначенные
, и один из нижних
акции, обозначенные
. В частности,

за
Фернхольц (1999), (2002) показали, что относительная производительность портфеля крупных акций по отношению к рынку выражается как

Действительно, если нет текучести на m-м ранге в течение интервала
, состояния
относительно рынка определяются исключительно на основе того, как общая капитализация этого субуниверсума
самые большие складские тарифы на время
против времени 0; всякий раз, когда есть оборот на
-й ранг, однако,
должен продать с убытком акцию, которая «понижается» до более низкой лиги, и купить акцию, которая выросла в цене и получила повышение. Этим объясняется «утечка», которая очевидна в последний период, интеграл по отношению к совокупному процессу оборота.
относительного веса в портфеле с большой капитализацией
акции, занимающей m-е место.
С портфелем преобладает обратная ситуация.
мелких акций, которые можно продать с прибылью, акции, которые переводятся в лигу «с более высокой капитализацией», и покупать относительно дешево акции, которые переводятся в низшую лигу:

Из этих двух выражений видно, что в последовательный и стохастически устойчивый рынок, портфель мелких акций, взвешенный по капитализации
будет иметь тенденцию превосходить своих коллег с крупными акциями
, по крайней мере, расширять временные горизонты и; в частности, мы имеем в этих условиях

Это дает количественную оценку так называемого размерный эффект. В Fernholz (1999, 2002) подобные конструкции обобщены, чтобы включить функционально сгенерированные портфели, основанные на ранжированных рыночных весах.
Модели первого и второго порядка
Модели первого и второго порядка - это гибридные модели Атласа, которые воспроизводят некоторую структуру реальных фондовых рынков. Модели первого порядка имеют только параметры на основе ранга, а модели второго порядка имеют параметры как на основе ранга, так и на основе имени.
Предположим, что
является согласованным рынком, и что его пределы

и

существуют для
, куда
это ранг
. Тогда модель Атласа
определяется

куда
это ранг
и
является
-мерный процесс броуновского движения, является модель первого порядка для исходного рынка,
.
При разумных условиях кривая распределения капитала для модели первого порядка будет близка к кривой исходного рынка. Однако модель первого порядка эргодична в том смысле, что каждая акция асимптотически расходует
-я часть своего времени на каждом ранге, свойство, которого нет на реальных рынках. Чтобы варьировать долю времени, которое акция проводит на каждом ранге, необходимо использовать некоторую форму гибридной модели Атласа с параметрами, которые зависят как от ранга, так и от имени. Усилия в этом направлении были предприняты Фернхольцем, Ичибой и Каратзасом (2013), которые представили модель второго порядка для рынка с параметрами роста на основе ранга и имени и параметрами дисперсии, зависящими только от ранга.
Рекомендации
- Фернхольц, Э. Р. (2002). Стохастическая теория портфеля. Нью-Йорк: Springer-Verlag.