Теория стохастического портфеля - Stochastic portfolio theory

Теория стохастического портфеля (SPT) представляет собой математическую теорию для анализа структуры фондового рынка и поведения портфеля, введенную Э. Робертом Фернхольцем в 2002 году. Она носит описательный характер, а не нормативный, и согласуется с наблюдаемым поведением реальных рынков. Нормативные допущения, которые служат основой для более ранних теорий, таких как современная теория портфолио (MPT) и модель ценообразования основных средств (CAPM), отсутствуют в SPT.

SPT использует непрерывное время случайные процессы (в частности, непрерывные полумартингалы) для представления цен отдельных ценных бумаг. Процессы с разрывами, такие как скачки, также включены в теорию.

Акции, портфели и рынки

SPT считает акции и фондовые рынки, но его методы могут быть применены к другим классам ресурсы также. Акция представлена ​​процессом ее цены, обычно в логарифмическое представление. В случае рынок представляет собой набор процессов цены акций ${\displaystyle X_{i},}$ за ${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$ каждый определяется непрерывным семимартингал

${\displaystyle d\log X_{i}(t)=\gamma _{i}(t)\,dt+\sum _{\nu =1}^{d}\xi _{i\nu }(t)\,dW_{\nu }(t)}$

куда ${\displaystyle W:=(W_{1},\dots ,W_{d})}$ является ${\displaystyle n}$-размерный Броуновское движение (Винеровский) процесс с ${\displaystyle d\geq n}$, а процессы ${\displaystyle \gamma _{i}}$ и ${\displaystyle \xi _{i\nu }}$ находятся постепенно измеримый относительно броуновской фильтрации${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$. В этом представлении ${\displaystyle \gamma _{i}(t)}$ называется (составной) скорость роста из ${\displaystyle X_{i},}$ и ковариация между ${\displaystyle \log X_{i}}$ и ${\displaystyle \log X_{j}}$ является ${\displaystyle \sigma _{ij}(t)=\sum _{\nu =1}^{d}\xi _{i\nu }(t)\xi _{j\nu }(t).}$ Часто предполагается, что для всех ${\displaystyle i,}$ процесс ${\displaystyle \xi _{i,1}^{2}(t)+\cdots +\xi _{id}^{2}(t)}$ положительно, локально квадратично интегрируемый, и не растет слишком быстро, как ${\displaystyle t\rightarrow \infty .}$

Логарифмическое представление эквивалентно классическому арифметическому представлению, в котором используется норма прибыли ${\displaystyle \alpha _{i}(t),}$ однако темпы роста могут быть значимым индикатором долгосрочных результатов финансового актива, в то время как норма доходности имеет тенденцию к повышению. Связь между нормой прибыли и темпами роста:

${\displaystyle \alpha _{i}(t)=\gamma _{i}(t)+{\frac {\sigma _{ii}(t)}{2}}}$

Обычно в SPT принято считать, что каждая акция имеет в обращении одну акцию, поэтому ${\displaystyle X_{i}(t)}$представляет собой общую капитализацию ${\displaystyle i}$-й запас за раз ${\displaystyle t,}$ и ${\displaystyle X(t)=X_{1}(t)+\cdots +X_{n}(t)}$ - общая капитализация рынка. Дивиденды могут быть включены в это представление, но для простоты они здесь опущены.

An инвестиционная стратегия ${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\cdots ,\pi _{n})}$ - вектор ограниченных прогрессивно измеримых процессов; количество ${\displaystyle \pi _{i}(t)}$ представляет собой долю от общего богатства, вложенного в ${\displaystyle i}$-й запас на момент ${\displaystyle t}$, и ${\displaystyle \pi _{0}(t):=1-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)}$ - это доля накопленных (вложенных на денежный рынок с нулевой процентной ставкой). Отрицательные веса соответствуют коротким позициям. Денежная стратегия ${\displaystyle \kappa \equiv 0(\kappa _{0}\equiv 1)}$ сохраняет все богатство на денежном рынке. Стратегия ${\displaystyle \pi }$ называется портфолио, если он полностью вложен в фондовый рынок, то есть ${\displaystyle \pi _{1}(t)+\cdots +\pi _{n}(t)=1}$ держит, всегда.

В процесс оценки ${\displaystyle Z_{\pi }}$ стратегии ${\displaystyle \pi }$ всегда позитивен и удовлетворяет

${\displaystyle d\log Z_{\pi }(t)=\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)\,d\log X_{i}(t)+\gamma _{\pi }^{*}(t)\,dt}$

где процесс ${\displaystyle \gamma _{\pi }^{*}}$ называется процесс избыточной скорости роста и дается

${\displaystyle \gamma _{\pi }^{*}(t):={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)\sigma _{ii}(t)-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}\pi _{i}(t)\pi _{j}(t)\sigma _{ij}(t)}$

Это выражение неотрицательно для портфеля с неотрицательными весами. ${\displaystyle \pi _{i}(t)}$ и был использован в квадратичная оптимизация портфелей акций, частным случаем которых является оптимизация по логарифмической функции полезности.

В процессы рыночного веса,

${\displaystyle \mu _{i}(t):={\frac {X_{i}(t)}{X_{1}(t)+\cdots +X_{n}(t)}}}$

куда ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ определить рыночный портфель ${\displaystyle \mu }$. С начальным условием ${\displaystyle Z_{\mu }(0)=X(0),}$ связанный процесс создания ценности удовлетворит ${\displaystyle Z_{\mu }(t)=X(t)}$ для всех ${\displaystyle t.}$

На рисунке 1 показана энтропия фондового рынка США за период с 1980 по 2012 год, а на оси показано среднее значение за период. Хотя энтропия со временем колеблется, ее поведение указывает на определенную стабильность фондового рынка. Характеристика этой устойчивости - одна из целей SPT.

На рынок может быть наложен ряд условий, иногда для моделирования реальных рынков, а иногда для подчеркивания определенных типов гипотетического рыночного поведения. Некоторые часто вызываемые условия:

1. Рынок - это невырожденный если собственные значения ковариационная матрица ${\displaystyle (\sigma _{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}}$ отделены от нуля. Она имеет ограниченная дисперсия если собственные значения ограничены.
2. Рынок - это последовательный если ${\displaystyle \operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }t^{-1}\log(\mu _{i}(t))=0}$ для всех ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$
3. Рынок - это разнообразный на ${\displaystyle [0,T]}$ если существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$ такой, что ${\displaystyle \mu _{\max }(t)\leq 1-\varepsilon }$ за ${\displaystyle t\in [0,T].}$
4. Рынок - это слабо разнообразный на ${\displaystyle [0,T]}$ если существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$ такой, что

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mu _{\max }(t)\,dt\leq 1-\varepsilon }$

Разнообразие и слабое разнообразие - это довольно слабые условия, а рынки, как правило, гораздо более разнообразны, чем можно было бы испытать этими крайностями. Мера разнообразия рынка рыночная энтропия, определяется

${\displaystyle S(\mu (t))=-\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\log(\mu _{i}(t)).}$

Стохастическая устойчивость

На рисунке 2 показаны (ранжированные) кривые распределения капитала на конец каждого из последних девяти десятилетий. Этот график логарифмических данных демонстрирует замечательную стабильность в течение длительных периодов времени. Исследование такой устойчивости - одна из основных целей SPT.

На рисунке 3 показаны процессы «совокупной текучести» на различных должностях в течение десятилетия. Как и ожидалось, объем оборота увеличивается при спуске по лестнице капитализации. Также наблюдается выраженный линейный рост во времени по всем отображаемым рангам.

Рассмотрим векторный процесс ${\displaystyle (\mu _{(1)}(t),\dots ,\mu _{(n)}(t)),}$ с ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$ из ранжированные рыночные веса

${\displaystyle \max _{1\leq i\leq n}\mu _{i}(t)=:\mu _{(1)}(t)\geq \mu _{(2)}(t)\geq \cdots \mu _{(n)}(t):=\min _{1\leq i\leq n}\mu _{i}(t)}$

где связи разрешаются «лексикографически», всегда в пользу самого низкого индекса. Бревна

${\displaystyle G^{(k,k+1)}(t):=\log(\mu _{(k)}(t)/\mu _{(k+1)}(t)),}$

куда ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$ и ${\displaystyle k=1,\dots ,n-1}$ являются непрерывными неотрицательными семимартингалами; мы обозначим через ${\displaystyle \Lambda ^{(k,k+1)}(t)=L^{G^{(k,k+1)}}(t;0)}$ их местное время в начале координат. Эти количества измеряют величину текучести между рангами. ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle k+1}$ в течение промежутка времени ${\displaystyle [0,t]}$.

Рынок называется стохастически устойчивый, если ${\displaystyle (\mu _{(1)}(t),\cdots ,\mu _{(n)}(t))}$ сходится в распределении в качестве ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ к случайному вектору ${\displaystyle (M_{(1)},\cdots ,M_{(n)})}$ со значениями в Камера Вейля ${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid x_{1}>x_{2}>\dots >x_{n}{\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=1\}}$ единичного симплекса, и если сильный закон больших чисел

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {\Lambda ^{(k,k+1)}(t)}{t}}=\lambda ^{(k,k+1)}>0}$

выполняется для подходящих действительных констант ${\displaystyle \lambda ^{(1,2)},\dots ,\lambda ^{(n-1,n)}.}$

Арбитраж и нумерационная собственность

Учитывая любые две инвестиционные стратегии ${\displaystyle \pi ,\rho }$ и реальное число ${\displaystyle T>0}$мы говорим, что ${\displaystyle \pi }$ является арбитраж относительно ${\displaystyle \rho }$ за временной горизонт ${\displaystyle [0,T]}$, если ${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)\geq Z_{\rho }(T))\geq 1}$ и ${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)>Z_{\rho }(T))>0}$ оба держатся; этот относительный арбитраж называется «сильным», если ${\displaystyle \mathbb {P} (Z_{\pi }(T)>Z_{\rho }(T))=1.}$ Когда ${\displaystyle \rho }$ является ${\displaystyle \kappa \equiv 0,}$ мы восстанавливаем обычное определение арбитража относительно наличных денег. Мы говорим, что данная стратегия ${\displaystyle \nu }$ имеет numeraire свойство, если для любой стратегии ${\displaystyle \pi }$ Соотношение ${\displaystyle Z_{\pi }/Z_{\nu }}$ это ${\displaystyle \mathbb {P} }$−supermartingale. В таком случае процесс ${\displaystyle 1/Z_{\nu }}$ называется «дефлятором» рынка.

Нет арбитраж возможно на любом заданном временном горизонте относительно стратегии ${\displaystyle \nu }$ который имеет свойство numeraire (либо относительно базовой вероятностной меры ${\displaystyle \mathbb {P} }$, или относительно любой другой вероятностной меры, которая эквивалентна ${\displaystyle \mathbb {P} }$). Стратегия ${\displaystyle \nu }$ со свойством numeraire максимизирует асимптотический темп роста от инвестиций в том смысле, что

${\displaystyle \limsup _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\log \left({\frac {Z_{\pi }(T)}{Z_{\nu }(T)}}\right)\leq 0}$

справедливо для любой стратегии ${\displaystyle \pi }$; он также максимизирует ожидаемую логарифмическую полезность инвестиций в том смысле, что для любой стратегии ${\displaystyle \pi }$ и реальное число ${\displaystyle T>0}$ у нас есть

${\displaystyle \mathbb {E} [\log(Z_{\pi }(T)]\leq \mathbb {E} [\log(Z_{\nu }(T))].}$

Если вектор ${\displaystyle \alpha (t)=(\alpha _{1}(t),\cdots ,\alpha _{n}(t))'}$ мгновенных ставок доходности, а матрица ${\displaystyle \sigma (t)=(\sigma (t))_{1\leq i,j\leq n}}$ мгновенных ковариаций, то стратегия

${\displaystyle \nu (t)=\arg \max _{p\in \mathbb {R} ^{n}}(p'\alpha (t)-{\tfrac {1}{2}}p'\alpha (t)p)\qquad {\text{ for all }}0\leq t<\infty }$

имеет свойство numeraire всякий раз, когда достигается указанный максимум.

Исследование числового портфеля связывает SPT с так называемым эталонным подходом к математическим финансам, который принимает такой числовой портфель как данность и обеспечивает способ оценки условных требований без каких-либо дополнительных предположений.

Вероятностная мера ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ называется эквивалентная мера мартингала (EMM) на заданном временном горизонте ${\displaystyle [0,T]}$, если он имеет такие же нулевые наборы, что и ${\displaystyle \mathbb {P} }$ на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$, а если процессы ${\displaystyle X_{1}(t),\dots ,X_{n}(t)}$ с ${\displaystyle 0\leq t\leq T}$ все ${\displaystyle \mathbb {Q} }$−martingales. Предполагая, что такая EMM существует, арбитраж невозможен на ${\displaystyle [0,T]}$ относительно наличных денег ${\displaystyle \kappa }$ или в рыночный портфель ${\displaystyle \mu }$ (или, в более общем смысле, относительно любой стратегии ${\displaystyle \rho }$ чей процесс богатства ${\displaystyle Z_{\rho }}$ это мартингейл под каким-то EMM). Наоборот, если ${\displaystyle \pi ,\rho }$ являются портфелями, и один из них является арбитражем относительно другого на ${\displaystyle [0,T]}$ тогда на этом горизонте не может существовать никакого EMM.

Функционально сгенерированные портфели

Предположим, нам дана гладкая функция ${\displaystyle G:U\rightarrow (0,\infty )}$ в каком-то районе ${\displaystyle U}$ единичного симплекса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Мы называем

${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {G} }(t):=\mu _{i}(t)\left(D_{i}\log(\mathbb {G} (\mu (t)))+1-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}(t)D_{j}\log(\mathbb {G} (\mu (t)))\right)\qquad {\text{ for }}1\leq i\leq n}$

то портфель, созданный функцией ${\displaystyle \mathbb {G} }$. Можно показать, что все веса этого портфеля неотрицательны, если его производящая функция ${\displaystyle \mathbb {G} }$ вогнутая. В мягких условиях относительная эффективность этого функционально сформированного портфеля ${\displaystyle \pi _{\mathbb {G} }}$ относительно рыночного портфеля ${\displaystyle \mu }$, дается F-G разложение

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\pi ^{\mathbb {G} }}(T)}{Z_{\mu }(T)}}\right)=\log \left({\frac {\mathbb {G} (\mu (T))}{\mathbb {G} (\mu (0))}}\right)+\int _{0}^{T}g(t)\,dt}$

в котором нет стохастических интегралов. Здесь выражение

${\displaystyle g(t):={\frac {-1}{2\mathbb {G} (\mu (t))}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}D_{ij}^{2}\mathbb {G} (\mu (t))\mu _{i}(t)\mu _{j}(t)\tau _{ij}^{\mu }(t)}$

называется процесс дрейфа портфеля (и это неотрицательная величина, если производящая функция ${\displaystyle \mathbb {G} }$ вогнутая); и количества

${\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }(t):=\sum _{\nu =1}^{n}(\xi _{i\nu }(t)-\xi _{\nu }^{\mu }(t))(\xi _{j\nu }(t)-\xi _{\nu }^{\mu }(t)),\qquad \xi _{i\nu }(t):=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\xi _{i\nu }(t)}$

с ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ называются относительные ковариации между ${\displaystyle \log(X_{i})}$ и ${\displaystyle \log(X_{j})}$ по отношению к рынку.

Примеры

1. Постоянная функция ${\displaystyle \mathbb {G} :=w>0}$ генерирует рыночный портфель ${\displaystyle \mu }$,
2. Функция среднего геометрического ${\displaystyle \mathbb {H} (x):=(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}}$ генерирует равновзвешенный портфель ${\displaystyle \varphi _{i}(n)={\frac {1}{n}}}$ для всех ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$,
3. Модифицированная функция энтропии ${\displaystyle \mathbb {S} ^{c}(x)=c-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \log(x_{i})}$ для любого ${\displaystyle c>0}$ генерирует модифицированный энтропийно-взвешенный портфель,
4. Функция ${\displaystyle \mathbb {D} ^{(p)}(x):=(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p})^{\frac {1}{p}}}$ с ${\displaystyle 0<p<1}$

   генерирует портфель с учетом разнообразия ${\displaystyle \delta _{i}^{(p)}(t)={\frac {(\mu _{i}(t))^{p}}{\sum _{i=1}^{n}(\mu _{i}(t))^{p}}}}$ с процесс дрейфа ${\displaystyle (1-p)\gamma _{\delta ^{(p)}}^{*}(t)}$.

Арбитраж относительно рынка

Чрезмерный темп роста рыночного портфеля допускает представление ${\displaystyle 2\gamma _{\mu }^{*}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\tau _{ii}^{\mu }(t)}$ как средневзвешенную по капитализации относительную дисперсию запасов. Эта величина неотрицательна; если он отделен от нуля, а именно

${\displaystyle \gamma _{\mu }^{*}(t)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\tau _{ii}^{\mu }(t)\geq h>0,}$

для всех ${\displaystyle 0\leq t<\infty }$ для некоторой реальной постоянной ${\displaystyle h}$, то с помощью разложения F-G можно показать, что для любого ${\displaystyle T>\mathbb {S} (\mu (0))/h,}$ существует постоянная ${\displaystyle c>0}$ для которого модифицированный энтропийный портфель ${\displaystyle \Theta ^{(c)}}$ это строгий арбитраж относительно рынка ${\displaystyle \mu }$ над ${\displaystyle [0,T]}$; см. подробности в Fernholz and Karatzas (2005). Вопрос о том, существует ли такой арбитраж на произвольных временных горизонтах, остается открытым (для двух особых случаев, когда ответ на этот вопрос оказывается положительным, см. Параграф ниже и следующий раздел).

Если собственные значения ковариационной матрицы ${\displaystyle (\sigma _{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}}$ отделены как от нуля, так и от бесконечности, условие ${\displaystyle \gamma _{\mu }^{*}\geq h>0}$ можно показать, что это эквивалентно разнообразию, а именно ${\displaystyle \mu _{\max }\leq 1-\varepsilon }$ для подходящего ${\displaystyle \varepsilon \in (0,1).}$ Тогда портфель с учетом разнообразия ${\displaystyle \delta ^{(p)}}$ приводит к жесткому арбитражу по отношению к рыночному портфелю на достаточно длительных временных горизонтах; тогда как подходящие модификации этого взвешенного по разнообразию портфеля реализуют такой строгий арбитраж на произвольных временных горизонтах.

Пример: рынки со стабилизированной волатильностью

Рассмотрим на примере системы стохастические дифференциальные уравнения

${\displaystyle d\log(X_{i}(t))={\frac {\alpha }{2\mu _{i}(t)}}\,dt+{\frac {\sigma }{\mu _{i}(t)}}\,dW_{i}(t)}$

с ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ учитывая реальные константы ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ и ${\displaystyle n}$-мерное броуновское движение ${\displaystyle (W_{1},\dots ,W_{n}).}$ Из работы Басса и Перкинса (2002) следует, что эта система имеет слабое решение, уникальное по распределению. Фернхольц и Каратсас (2005) показывают, как построить это решение в терминах масштабированного и измененного во времени квадрата Бесселевские процессы, и докажите, что полученная система является когерентной.

Общая рыночная капитализация ${\displaystyle X}$ ведет себя здесь как геометрическое броуновское движение с дрейфом и имеет такую ​​же постоянную скорость роста, как и самая крупная акция; тогда как избыточная скорость роста рыночного портфеля является положительной константой. С другой стороны, относительные рыночные веса ${\displaystyle \mu _{i}}$с ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ иметь динамику мультиаллеля Процессы Райта-Фишера. Эта модель является примером недиверсифицированного рынка с неограниченными отклонениями, на котором сильные арбитражные возможности по отношению к рыночному портфелю ${\displaystyle \mu }$ существовать над произвольные временные горизонты, как было показано Баннером и Фернхольцем (2008). Более того, Пал (2012) вывел общую плотность рыночных весов в фиксированные моменты времени и в определенные моменты остановки.

Ранговые портфели

Фиксируем целое число ${\displaystyle m\in \{2,\dots ,n-1\}}$ и построить два портфеля, взвешенных по капитализации: один, состоящий из ${\displaystyle m}$ акции, обозначенные ${\displaystyle \zeta }$, и один из нижних ${\displaystyle n-m}$ акции, обозначенные ${\displaystyle \eta }$. В частности,

${\displaystyle \zeta _{i}(t)={\frac {\sum _{k=1}^{m}\mu _{(k)}(t)\mathbf {1} _{\{\mu _{i}(t)=\mu _{(k)}(t)\}}}{\sum _{l=1}^{m}\mu _{(l)}(t)}}\qquad {\text{ and }}\eta _{i}(t)={\frac {\sum _{k=m+1}^{n}\mu _{(k)}(t)\mathbf {1} _{\{\mu _{i}(t)=\mu _{(k)}(t)\}}}{\sum _{l=m+1}^{n}\mu _{(l)}(t)}}}$

за ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ Фернхольц (1999), (2002) показали, что относительная производительность портфеля крупных акций по отношению к рынку выражается как

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\zeta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\log \left({\frac {\mu _{(1)}(T)+\cdots +\mu _{(m)}(T)}{\mu _{(1)}(0)+\cdots +\mu _{(m)}(0)}}\right)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\mu _{(m)}(t)}{\mu _{(1)}(t)+\cdots +\mu _{(m)}(t)}}\,d\Lambda ^{(m,m+1)}(t).}$

Действительно, если нет текучести на m-м ранге в течение интервала ${\displaystyle [0,T]}$, состояния ${\displaystyle \zeta }$ относительно рынка определяются исключительно на основе того, как общая капитализация этого субуниверсума ${\displaystyle m}$ самые большие складские тарифы на время ${\displaystyle T}$ против времени 0; всякий раз, когда есть оборот на ${\displaystyle m}$-й ранг, однако, ${\displaystyle \zeta }$ должен продать с убытком акцию, которая «понижается» до более низкой лиги, и купить акцию, которая выросла в цене и получила повышение. Этим объясняется «утечка», которая очевидна в последний период, интеграл по отношению к совокупному процессу оборота. ${\displaystyle \Lambda ^{(m,m+1)}}$ относительного веса в портфеле с большой капитализацией ${\displaystyle \zeta }$ акции, занимающей m-е место.

С портфелем преобладает обратная ситуация. ${\displaystyle \eta }$ мелких акций, которые можно продать с прибылью, акции, которые переводятся в лигу «с более высокой капитализацией», и покупать относительно дешево акции, которые переводятся в низшую лигу:

${\displaystyle \log \left({\frac {Z_{\eta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\log \left({\frac {\mu _{(m+1)}(T)+\cdots +\mu _{(n)}(T)}{\mu _{(m+1)}(0)+\cdots +\mu _{(n)}(0)}}\right)+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\mu _{(m+1)}(t)}{\mu _{(m+1)}(t)+\cdots +\mu _{(n)}(t)}}.}$

Из этих двух выражений видно, что в последовательный и стохастически устойчивый рынок, портфель мелких акций, взвешенный по капитализации ${\displaystyle \zeta }$ будет иметь тенденцию превосходить своих коллег с крупными акциями ${\displaystyle \eta }$, по крайней мере, расширять временные горизонты и; в частности, мы имеем в этих условиях

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\log \left({\frac {Z_{\eta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\lambda ^{(m,m+1)}\mathbb {E} \left({\frac {M_{(1)}}{M_{(1)}+\cdots +M_{(m)}}}+{\frac {M_{(m+1)}}{M_{(m+1)}+\cdots +M_{(n)}}}\right)>0.}$

Это дает количественную оценку так называемого размерный эффект. В Fernholz (1999, 2002) подобные конструкции обобщены, чтобы включить функционально сгенерированные портфели, основанные на ранжированных рыночных весах.

Модели первого и второго порядка

Модели первого и второго порядка - это гибридные модели Атласа, которые воспроизводят некоторую структуру реальных фондовых рынков. Модели первого порядка имеют только параметры на основе ранга, а модели второго порядка имеют параметры как на основе ранга, так и на основе имени.

Предположим, что ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ является согласованным рынком, и что его пределы

${\displaystyle \mathbf {\sigma } _{k}^{2}=\lim _{t\to \infty }t^{-1}\langle \log \mu _{(k)}\rangle (t)}$

и

${\displaystyle \mathbf {g} _{k}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{r_{t}(i)=k\}}\,d\log \mu _{i}(t)}$

существуют для ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$, куда ${\displaystyle r_{t}(i)}$ это ранг ${\displaystyle X_{i}(t)}$. Тогда модель Атласа ${\displaystyle {\widehat {X}}_{1},\ldots ,{\widehat {X}}_{n}}$ определяется

${\displaystyle d\log {\widehat {X}}_{i}(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {g} _{k}\,\mathbf {1} _{\{{\hat {r}}_{t}(i)=k\}}\,dt+\sum _{k=1}^{n}\mathbf {\sigma } _{k}\mathbf {1} _{\{{\hat {r}}_{t}(i)=k\}}\,dW_{i}(t),}$

куда ${\displaystyle {\hat {r}}_{t}(i)}$ это ранг ${\displaystyle {\widehat {X}}_{i}(t)}$ и ${\displaystyle (W_{1},\ldots ,W_{n})}$ является ${\displaystyle n}$-мерный процесс броуновского движения, является модель первого порядка для исходного рынка, ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.

При разумных условиях кривая распределения капитала для модели первого порядка будет близка к кривой исходного рынка. Однако модель первого порядка эргодична в том смысле, что каждая акция асимптотически расходует ${\displaystyle (1/n)}$-я часть своего времени на каждом ранге, свойство, которого нет на реальных рынках. Чтобы варьировать долю времени, которое акция проводит на каждом ранге, необходимо использовать некоторую форму гибридной модели Атласа с параметрами, которые зависят как от ранга, так и от имени. Усилия в этом направлении были предприняты Фернхольцем, Ичибой и Каратзасом (2013), которые представили модель второго порядка для рынка с параметрами роста на основе ранга и имени и параметрами дисперсии, зависящими только от ранга.

Рекомендации

• Фернхольц, Э. Р. (2002). Стохастическая теория портфеля. Нью-Йорк: Springer-Verlag.