Коническая задача Штейнера - Steiners conic problem

В перечислительная геометрия, Коническая задача Штейнера проблема нахождения числа гладких коники по касательной к пяти заданным коникам на плоскости в общем положении. Если проблема рассматривается в комплексная проективная плоскость CP2, правильное решение - 3264 (Башелор (2008)). Проблема названа в честь Якоб Штайнер кто первым ее сформулировал и дал неверное решение в 1848 году.

История

Штайнер (1848) утверждал, что количество коник, касательных к 5 заданным коникам общего положения, равно 7776 = 65, но позже понял, что это было неправильно. Правильное число 3264 было найдено примерно в 1859 г. Эрнест де Жонкьер которые не публиковались из-за репутации Штайнера, и Chasles  (1864 ) с использованием его теории характеристик и Бернером в 1865 г. Однако эти результаты, как и многие другие в классической теории пересечений, не получили полных доказательств, пока не появились работы Фултон и Макферсон примерно в 1978 г.

Состав и решение

Пространство (возможно, вырожденных) коник на комплексной проективной плоскости CP2 можно отождествить с сложное проективное пространство CP5 (поскольку каждая коника определяется однородным многочленом степени 2 от трех переменных с 6 комплексными коэффициентами, и умножение такого многочлена на ненулевое комплексное число не меняет конику). Штейнер заметил, что коники, касающиеся данной коники, образуют гиперповерхность степени 6 в CP5. Таким образом, коники, касательные к 5 заданным коникам, соответствуют точкам пересечения гиперповерхностей 5 степени 6, и Теорема Безу количество точек пересечения 5 гиперповерхностей общего положения 6 равно 65 = 7776, что было неправильным решением Штейнера. Причина, по которой это неверно, заключается в том, что гиперповерхности пяти степеней 6 не находятся в общем положении и имеют общее пересечение в Веронезе поверхность, соответствующий набору двойных прямых на плоскости, каждая из которых имеет точки двойного пересечения с 5 кониками. В частности, пересечение этих пяти гиперповерхностей даже не 0-мерно, а имеет 2-мерную составляющую. Поэтому, чтобы найти правильный ответ, нужно каким-то образом исключить из этого расчета плоскость ложных вырожденных коник.

Один из способов устранения вырожденных коник - это Взрывать CP5 вдоль поверхности Веронезе. В Кольцо для чау-чау разрушения генерируется ЧАС и E, куда ЧАС является полным преобразованием гиперплоскости и E - исключительный дивизор. Суммарное преобразование гиперповерхности степени 6 равно 6ЧАС, и Штейнер рассчитал (6ЧАС)5 = 65п в качестве ЧАС5=п (куда п - класс точки в кольце Чжоу). Однако количество коников не так велико (6ЧАС)5 но (6ЧАС−2E)5 поскольку собственный прообраз гиперповерхности коник, касающейся данной коники, равен 6ЧАС−2E.

Предположим, что L = 2ЧАС−E - собственный прообраз коник, касательных к данной прямой. Тогда числа пересечения ЧАС и L даны ЧАС5=1п, ЧАС4L=2п, ЧАС3L2=4п, ЧАС2L3=4п, ЧАС1L4=2п, L5=1п. Итак, мы имеем (6ЧАС−2E)5 = (2ЧАС+2L)5 = 3264п.

Фултон и Макферсон (1978) дали точное описание того, что именно означает «общая позиция» (хотя их два утверждения по этому поводу не совсем верны и исправлены в примечании на странице 29 их статьи). Если пять коник обладают свойствами,

  • не существует такой прямой, чтобы каждая из 5 коник касалась ее или проходила через одну из двух неподвижных точек на ней (в противном случае существует «двойная линия с 2 отмеченными точками», касающаяся всех 5 коник)
  • никакие три коники не проходят через какую-либо точку (в противном случае существует «двойная линия с 2 отмеченными точками», касательная ко всем 5 коникам, проходящим через эту тройную точку пересечения)
  • никакие две коники не касаются друг друга
  • никакие три из пяти коник не касаются линии
  • пара прямых, каждая из которых касается двух коник, не пересекается на пятой конике (в противном случае эта пара является вырожденной коникой, касательной ко всем 5 коникам)

тогда общее количество коников C касательная ко всем 5 (с учетом кратностей) равна 3264. Здесь кратность определяется произведением по всем 5 коникам Cя of (4 - количество точек пересечения C и Cя). В частности, если C пересекает каждую из пяти коник ровно в 3 точках (одна двойная точка касания и две другие), то кратность равна 1, и если это условие всегда выполняется, то имеется ровно 3264 коники, касающихся 5 заданных коник.

Для других алгебраически замкнутых полей ответ будет аналогичным, если только поле не имеет характеристика 2 в этом случае количество конусов будет 51, а не 3264.

Рекомендации

  • Башелор, Эндрю; Ксир, Эми; Травес, Уилл (2008), «Перечислительная алгебраическая геометрия коник». (PDF), Амер. Математика. Ежемесячно, 115 (8): 701–728, Дои:10.1080/00029890.2008.11920584, JSTOR  27642583, МИСТЕР  2456094
  • М. Шаслес (1864 г.), "Конструкция коников, удовлетворяющая непротиворечивым условиям", C. R. Acad. Sci. Париж, 58: 297–308
  • Эйзенбуд, Дэвид; Джо, Харрис (2016), 3264 и все такое: второй курс алгебраической геометрии, ЧАШКА., ISBN  978-1107602724
  • Фултон, Уильям; Макферсон, Роберт (1978), "Определение алгебраических пересечений", Алгебраическая геометрия (Proc. Sympos., Univ. Tromsø, Tromsø, 1977), Конспект лекций по математике, 687, Берлин: Springer, стр. 1–30, Дои:10.1007 / BFb0062926, ISBN  978-3-540-08954-4, МИСТЕР  0527228
  • Штайнер, Дж. (1848 г.), "Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, und über einige damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte", J. Reine Angew. Математика., 37: 161–192

внешняя ссылка