Анализ продолжения спектра - Spectrum continuation analysis

Анализ продолжения спектра (SCA) является обобщением концепции Ряд Фурье к непериодический функции, из которых только фрагмент был выбран во временной области.

Напомним, что ряд Фурье подходит только для анализа периодический (или конечно-доменные) функции ж(Икс) с периодом 2π. Это можно выразить как бесконечный ряд синусоид:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx}}$

куда ${\displaystyle F_{n}}$ - амплитуда отдельных гармоник.

Однако в SCA, спектр разбивается на оптимизированные дискретные частоты. Как следствие, и поскольку период дискретизированной функции предполагается бесконечным или еще неизвестным, каждая из дискретных периодических функций, составляющих фрагмент дискретизированной функции, не может считаться кратной основной частоте:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{i\omega _{n}x}.}$

Таким образом, SCA не обязательно доставляет ${\displaystyle 2\pi }$ периодические функции, как это было бы в случае анализа Фурье. Для вещественнозначных функций ряд SCA может быть записан как:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}\cos(\omega _{n}x)+B_{n}\sin(\omega _{n}x)\right]+C(x)}$

куда А_п и B_п - амплитуды ряда. Амплитуды могут быть решены только в том случае, если ряд значений ${\displaystyle \omega _{n}}$ предварительно оптимизирован для желаемой целевой функции (обычно минимум остатки ).${\displaystyle C(x)}$ не обязательно является средним значением за интервал выборки: можно предпочесть включить преобладающую информацию о поведении значения смещения во временной области.

Этимология

SCA занимается проблемой прогнозирования продолжения частотного спектра за пределами дискретизированного (обычно стохастический ) фрагмент временного ряда. В отличие от обычного анализа Фурье, который бесконечно повторяет наблюдаемый период функции или временную область, SCA фильтрует точные составляющие частоты из наблюдаемого спектра и позволяет им продолжаться (соответственно предшествовать) во временной области. Поэтому в научной терминологии предпочтение отдается термину продолжение а не например экстраполяция.

Алгоритм

Требуется алгоритм, чтобы справиться с несколькими проблемами: устранение тренда, декомпозиция, оптимизация разрешения по частоте, наложение, преобразование и вычислительная эффективность.

• Снижение тренда или оценка тренда.
• Разложение.

С дискретное преобразование Фурье по своей сути связан с анализом Фурье, этот тип спектрального анализа по определению не подходит для разложения спектра в SCA. DFT (или БПФ ), однако, может дать начальное приближение, которое часто ускоряет разложение.

• Улучшение частотного разрешения.

После разложения дискретной частоты ее следует отфильтровать для достижения оптимального разрешения (т. Е. Изменения трех параметров: значения частоты, амплитуды и фазы).

• Трансформация.

Спектральная дисперсия

В сравнении с DFT (или же БПФ ), который характеризуется прекрасным спектральным разрешением, но плохой временной информацией, SCA отдает предпочтение временной информации, но дает более высокую дисперсию спектра. Это свойство показывает, в чем заключается аналитическая сила SCA. Например, разрешение дискретной составляющей частоты по определению намного лучше в SCA, чем в DFT.