Конъюгат Соболева - Sobolev conjugate

В Соболева конъюгат из п за ${\displaystyle 1\leq p<n}$, куда п размерность пространства,

${\displaystyle p^{*}={\frac {pn}{n-p}}>p}$

Это важный параметр в Соболевские неравенства.

Мотивация

Возникает вопрос: ты от Соболевское пространство ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ принадлежит ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ для некоторых q > п. В частности, когда ${\displaystyle \|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}$ контроль ${\displaystyle \|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}}$? Несложно проверить, что следующее неравенство

${\displaystyle \|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C(p,q)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\qquad \qquad (*)}$

не может быть верным для произвольных q. Учитывать ${\displaystyle u(x)\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$, бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем. Вводить ${\displaystyle u_{\lambda }(x):=u(\lambda x)}$. У нас это:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u_{\lambda }\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{q}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u(\lambda x)|^{q}dx={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u(y)|^{q}dy=\lambda ^{-n}\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{q}\\\|Du_{\lambda }\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{p}&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\lambda Du(\lambda x)|^{p}dx={\frac {\lambda ^{p}}{\lambda ^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|Du(y)|^{p}dy=\lambda ^{p-n}\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{p}\end{aligned}}}$

Неравенство (*) для ${\displaystyle u_{\lambda }}$ приводит к следующему неравенству для ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq \lambda ^{1-{\frac {n}{p}}+{\frac {n}{q}}}C(p,q)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}$

Если ${\displaystyle 1-{\frac {n}{p}}+{\frac {n}{q}}\neq 0,}$ затем позволив ${\displaystyle \lambda }$ переходя к нулю или бесконечности, получаем противоречие. Таким образом, неравенство (*) может выполняться только для

${\displaystyle q={\frac {pn}{n-p}}}$,

которое является сопряженным по Соболеву.

Смотрите также

• Сергей Львович Соболев

Рекомендации

• Лоуренс К. Эванс. Уравнения с частными производными. Аспирантура по математике, Том 19. Американское математическое общество. 1998 г. ISBN  0-8218-0772-2