Теорема Слуцкого - Slutskys theorem

В теория вероятности, Теорема Слуцкого расширяет некоторые свойства алгебраических операций на сходящиеся последовательности из действительные числа к последовательностям случайные переменные.^[1]

Теорема была названа в честь Евгений Слуцкий.^[2] Теорема Слуцкого также принадлежит Харальд Крамер.^[3]

Заявление

Позволять ${\displaystyle X_{n},Y_{n}}$ быть последовательностями скаляра / вектора / матрицы случайные элементы.Если ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по распределению к случайному элементу ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y_{n}}$ сходится по вероятности к константе ${\displaystyle c}$, тогда

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;}$
• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,}$ при условии, что c обратима,

куда ${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$ обозначает конвергенция в распределении.

Примечания:

1. Требование, чтобы Y_п сходится к константе, важно - если бы она сходилась к невырожденной случайной величине, теорема больше не действовала бы. Например, пусть ${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ и ${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$. Сумма ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$ для всех значений п. Более того, ${\displaystyle Y_{n}{\xrightarrow {d}}{\rm {Uniform}}(-1,0)}$, но ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$ не сходится в распределении к ${\displaystyle X+Y}$, куда ${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$, ${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$, и ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ независимы.^[4]
2. Теорема останется в силе, если мы заменим все сходимости по распределению на сходимости по вероятности.

Доказательство

Эта теорема следует из того, что если Икс_п сходится по распределению к Икс и Y_п сходится по вероятности к константе c, то совместный вектор (Икс_п, Y_п) сходится по распределению к (Икс, c) (глянь сюда ).

Далее мы применяем теорема о непрерывном отображении, распознавая функции грамм(Икс,у) = Икс + у, грамм(Икс,у) = ху, и грамм(Икс,у) = Икс у⁻¹ непрерывны (чтобы последняя функция была непрерывной, у должно быть обратимым).

Смотрите также

• Сходимость случайных величин

Рекомендации

1. Гольдбергер, Артур С. (1964). Эконометрическая теория. Нью-Йорк: Вили. стр.117 –120.
2. Слуцкий, Э. (1925). "Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte". Метрон (на немецком). 5 (3): 3–89. JFM  51.0380.03.
3. Теорема Слуцкого также называется Крамер теоремы согласно замечанию 11.1 (стр. 249) Gut, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура. Springer-Verlag. ISBN  0-387-22833-0.
4. Видеть Цзэн, Дунлинь (осень 2018 г.). «Теория случайных величин на больших выборках (слайды лекций)» (PDF). Расширенная вероятность и статистический вывод I (BIOS 760). Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл. Слайд 59.

дальнейшее чтение

• Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2001). Статистические выводы. Пасифик Гроув: Даксбери. С. 240–245. ISBN  0-534-24312-6.
• Grimmett, G .; Стирзакер, Д. (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Оксфорд.
• Хаяси, Фумио (2000). Эконометрика. Издательство Принстонского университета. С. 92–93. ISBN  0-691-01018-8.