Slerp - Slerp

В компьютерная графика, Slerp сокращение для сферическая линейная интерполяция, представленный Кеном Шумейком в контексте кватернион интерполяция с целью оживление 3D вращение. Это относится к движению с постоянной скоростью по единичному радиусу. большой круг arc, учитывая концы и параметр интерполяции от 0 до 1.

Геометрический Slerp

У Слерпа есть геометрическая формула, не зависящая от кватернионов и не зависящая от измерения пространства, в которое встроена дуга. Эта формула, симметричная взвешенная сумма, приписанная Гленну Дэвису, основана на том факте, что любая точка на кривой должна быть линейная комбинация концов. Позволять п₀ и п₁ - первая и последняя точки дуги, и пусть т - параметр, 0 ≤т ≤ 1. Вычислить Ω как угол поданный по дуге, так что cos Ω = п₀ ∙ п₁, то п-размерный скалярное произведение единичных векторов от начала до конца. Геометрическая формула тогда

${\displaystyle \operatorname {Slerp} (p_{0},p_{1};t)={\frac {\sin {[(1-t)\Omega }]}{\sin \Omega }}p_{0}+{\frac {\sin[t\Omega ]}{\sin \Omega }}p_{1}.}$

Симметрия заключается в том, что ${\displaystyle \operatorname {Slerp} (p_{0},p_{1};t)}$ ${\displaystyle =\operatorname {Slerp} (p_{1},p_{0};1-t)}$. В пределе Ω → 0 эта формула сводится к соответствующей симметричной формуле для линейная интерполяция,

${\displaystyle \operatorname {Lerp} (p_{0},p_{1};t)=(1-t)p_{0}+tp_{1}.\,\!}$

Фактически, путь Слерпа - это сферический геометрический эквивалент пути вдоль отрезка прямой на плоскости; большой круг сферический геодезический.

Наклонный вектор корректируется до фактора Слерпа.

Более знакомым, чем общая формула Слерпа, является случай, когда конечные векторы перпендикулярны, и в этом случае формула имеет вид п₀ потому чтоθ + п₁ грехθ. Сдача θ = т π/2, и применяя тригонометрическое тождество потому чтоθ = грех (π/2 − θ), это становится формулой Слерпа. Фактор 1 / грех Ом в общей формуле является нормализацией, поскольку вектор п₁ под углом Ω к п₀ проецируется на перпендикуляр ⊥п₀ с длиной всего грех Ω.

Некоторые частные случаи Slerp допускают более эффективный расчет. Когда на растровом изображении необходимо нарисовать дугу окружности, предпочтительным методом является вариант Bresenham's круговой алгоритм. Оценка при значениях специального параметра 0 и 1 тривиально дает п₀ и п₁, соответственно; и деление пополам, оценка на 1/2, упрощается до (п₀ + п₁)/2, нормализованный. Другой частный случай, распространенный в анимации, - это оценка с фиксированными концами и равными параметрическими шагами. Если п_k−1 и п_k два последовательных значения, и если c это удвоенное их скалярное произведение (постоянное для всех шагов), затем следующее значение, п_k+1, это отражение п_k+1 = c п_k − п_k−1.

Quaternion Slerp

Когда Slerp применяется к юниту кватернионы, путь кватерниона отображается на путь через трехмерные вращения в стандартный способ. Эффект - вращение с равномерным угловая скорость вокруг фиксированного ось вращения. Когда начальной конечной точкой является кватернион идентичности, Слерп дает сегмент однопараметрическая подгруппа как Группа Ли 3D-вращений, ТАК (3), и это универсальная группа покрытий единичных кватернионов, S³. Slerp дает самый прямой и кратчайший путь между конечными точками кватерниона и сопоставляется с поворотом на угол 2Ω. Однако, поскольку покрытие двойное (q и -q сопоставить с одним и тем же вращением), траектория вращения может быть либо «короткой» (менее 180 °), либо «длинной» (более 180 °). Длинных путей можно избежать, отрицая один конец, если скалярное произведение, cos Ω, отрицательно, что гарантирует, что −90 ° ≤ Ω ≤ 90 °.

У Слерпа также есть выражения в терминах алгебры кватернионов, все с использованием возведение в степень. Настоящий мощности кватерниона определяются в терминах кватерниона экспоненциальная функция, записанный как е^q и предоставлено степенной ряд одинаково знакомы из исчисления, комплексного анализа и матричной алгебры:

${\displaystyle e^{q}=1+q+{\frac {q^{2}}{2}}+{\frac {q^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {q^{n}}{n!}}+\cdots .}$

Написание кватерниона единицы q в Versor форма, cos Ω + v грех Ω, с v единичный 3-вектор и отмечая, что квадрат кватерниона v² равно −1 (подразумевая кватернионную версию Формула Эйлера ), у нас есть е^{v Ω} = q, и q^т = cosт Ом + v грехт Ω. Идентификация интереса q = q₁ q₀⁻¹, так что реальная часть q является cos Ω, то же, что и использованное выше геометрическое скалярное произведение. Вот четыре эквивалентных кватернионных выражения для Slerp.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Slerp} (q_{0},q_{1},t)&=q_{0}(q_{0}^{-1}q_{1})^{t}\\[6pt]&=q_{1}(q_{1}^{-1}q_{0})^{1-t}\\[6pt]&=(q_{0}q_{1}^{-1})^{1-t}q_{1}\\[6pt]&=(q_{1}q_{0}^{-1})^{t}q_{0}\end{aligned}}}$

В производная из Slerp (q₀, q₁; т) относительно тв предположении, что концы зафиксированы, - это log (q₁q₀⁻¹) умноженное на значение функции, где кватернион натуральный логарифм в этом случае дает половину 3D угловая скорость вектор. Начальный касательный вектор равен параллельно транспортируется к каждой касательной по кривой; таким образом, кривая действительно является геодезической.

в касательное пространство в любой точке кватернионной кривой Слерпа, обратной экспоненциальная карта преобразует кривую в линейный сегмент. Кривые Слерпа, не проходящие через точку, не могут трансформироваться в линии в касательном пространстве этой точки.

Quaternion Slerps обычно используются для построения плавных кривых анимации путем имитации аффинных конструкций, таких как алгоритм де Кастельжау за Кривые Безье. Поскольку сфера не является аффинное пространство знакомые свойства аффинных конструкций могут не работать, хотя построенные кривые в остальном могут быть полностью удовлетворительными. Например, алгоритм де Кастельжау может быть использован для разделения кривой в аффинном пространстве; это не работает на сфере.

Двузначный Slerp может быть расширен для интерполяции среди множества единичных кватернионов.^[1], но расширение теряет фиксированное время выполнения алгоритма Слерпа.

Исходный код

Нижеприведенное C ++ код иллюстрирует реализацию алгоритма Slerp, который обрабатывает некоторые общие крайние случаи.

Кватернион Slerp(Кватернион v0, Кватернион v1, двойной т) {    // Допустимые вращения - только кватернионы юнитов.    // Нормализовать, чтобы избежать неопределенного поведения.    v0.нормализовать();    v1.нормализовать();    // Вычислить косинус угла между двумя векторами.    двойной точка = скалярное произведение(v0, v1);    // Если скалярное произведение отрицательное, slerp не примет    // более короткий путь. Обратите внимание, что v1 и -v1 эквивалентны, когда    // отрицание применяется ко всем четырем компонентам. Исправить     // переворачиваем один кватернион.    если (точка < 0,0f) {        v1 = -v1;        точка = -точка;    }    const двойной DOT_THRESHOLD = 0.9995;    если (точка > DOT_THRESHOLD) {        // Если входы слишком близки для удобства, линейно интерполируем        // и нормализуем результат.        Кватернион результат = v0 + т*(v1 - v0);        результат.нормализовать();        возвращаться результат;    }    // Поскольку точка находится в диапазоне [0, DOT_THRESHOLD], acos безопасен    двойной theta_0 = acos(точка);        // theta_0 = угол между входными векторами    двойной тета = theta_0*т;          // theta = угол между v0 и результатом    двойной sin_theta = грех(тета);     // вычисляем это значение только один раз    двойной sin_theta_0 = грех(theta_0); // вычисляем это значение только один раз    двойной s0 = потому что(тета) - точка * sin_theta / sin_theta_0;  // == грех (тета_0 - тета) / грех (тета_0)    двойной s1 = sin_theta / sin_theta_0;    возвращаться (s0 * v0) + (s1 * v1);}

Ниже приводится тот же алгоритм, за исключением Python. Оно использует NumPy и может вычислять множественные интерполяции slerp между двумя кватернионами.

импорт тупой в качестве нпdef Slerp(v0, v1, t_array):    "" "Сферическая линейная интерполяция." ""    # >>> slerp ([1,0,0,0], [0,0,0,1], np.arange (0, 1, 0.001))    t_array = нп.множество(t_array)    v0 = нп.множество(v0)    v1 = нп.множество(v1)    точка = нп.сумма(v0 * v1)    если точка < 0.0:        v1 = -v1        точка = -точка        DOT_THRESHOLD = 0.9995    если точка > DOT_THRESHOLD:        результат = v0[нп.Newaxis,:] + t_array[:,нп.Newaxis] * (v1 - v0)[нп.Newaxis,:]        возвращаться (результат.Т / нп.линалг.норма(результат, ось=1)).Т        theta_0 = нп.arccos(точка)    sin_theta_0 = нп.грех(theta_0)    тета = theta_0 * t_array    sin_theta = нп.грех(тета)        s0 = нп.потому что(тета) - точка * sin_theta / sin_theta_0    s1 = sin_theta / sin_theta_0    возвращаться (s0[:,нп.Newaxis] * v0[нп.Newaxis,:]) + (s1[:,нп.Newaxis] * v1[нп.Newaxis,:])

Рекомендации

1. Пеннек, Ксавье (март 1998 г.). «Применение вычисления среднего геометрических элементов к среднему вращению». Получено 19 июн 2020.

внешняя ссылка

• Шумейк, Кен. «Анимация вращения с помощью кватернионных кривых» (PDF). СИГГРАФ 1985.
• Эрик Б., плотина; Мартин, Кох; Лиллхольм, Мартин (17 июля 1998 г.). «Кватернионы, интерполяция и анимация» (PDF). Копенгагенский университет. В архиве (PDF) из оригинала 30.08.2017.
• Удар, Джонатан (26 февраля 2004 г.). «Понимание Slerp, а затем отказ от его использования». В архиве из оригинала от 25.08.2017.
• Мартин, Брайан (23 июня 1999 г.). «Брайан Мартин о Quaternion Animation». В архиве из оригинала от 24.03.2016.