Зигель домен - Siegel domain

В математике Зигель домен или же Пятецкий-Шапиро домен специальное открытое подмножество сложный аффинное пространство обобщая Верхняя полуплоскость Зигеля изучен Сигель  (1939 ). Их представил Пятецкий-Шапиро  (1959, 1969 ) в своем исследовании ограниченных однородных областей.

Определения

Область Зигеля первого типа (или первого типа, или рода 1) - это открытое подмножество C^м элементов z такой, что

${\displaystyle \Im (z)\in V\,}$

куда V открытый выпуклый конус в р^м. Это частные случаи трубчатые домены. Примером может служить Верхняя полуплоскость Зигеля, куда V⊂р^k(k + 1)/2 конус положительно определенных квадратичных форм в р^k и м = k(k + 1)/2.

Область Зигеля второго типа (или второго типа, или рода 2), также называемая областью Пятецкого-Шапиро, является открытым подмножеством C^м×C^п элементов (z,ш) такие, что

${\displaystyle \Im (z)-F(w,w)\in V\,}$

куда V открытый выпуклый конус в р^м и F это V-значная эрмитова форма на C^п.Если п = 0 это область Зигеля первого рода.

Домен Зигеля третьего типа (или третьего типа, или рода 3) - это открытое подмножество C^м×C^п×C^k элементов (z,ш,т) такие, что

${\displaystyle \Im (z)-\Re L_{t}(w,w)\in V\,}$ и т лежит в некоторой ограниченной области

куда V открытый выпуклый конус в р^м и L_т это V-значная полуэрмитова форма на C^п.

Ограниченные однородные области

А ограниченная область - открытое связное ограниченное подмножество комплексного аффинного пространства. Он называется однородным, если его группа автоморфизмов действует транзитивно, и называется симметричным, если для каждой точки существует автоморфизм, действующий как –1 на касательном пространстве. Ограниченные симметричные области однородны.

Эли Картан классифицировал однородные ограниченные области размерностью не выше 3 (с точностью до изоморфизма), показывая, что все они Эрмитовы симметрические пространства. Есть 1 в размерности 1 (единичный шар), два в измерении 2 (произведение двух одномерных комплексных шаров или двухмерного комплексного шара). Он спросил, все ли ограниченные однородные области симметричны. Пятецкий-Шапиро (1959, 1959b ) ответил на вопрос Картана, найдя область Зигеля типа 2 в четырех измерениях, которая является однородной и биголоморфной ограниченной области, но не симметричной. В размерностях не менее 7 существует бесконечное множество семейств однородных ограниченных областей, которые не являются симметричными.

È. Б. Винберг, С. Г. Гиндикин, И. И. Пятецкий-Шапиро (1963 ) показал, что всякая ограниченная однородная область биголоморфна области Зигеля типа 1 или 2.

Вильгельм Кауп, Ёзо Мацусима и Такусиро Очиаи (1970 ) описал изоморфизмы областей Зигеля типов 1 и 2 и алгебру Ли автоморфизмов области Зигеля. В частности, две области Зигеля изоморфны тогда и только тогда, когда они изоморфны аффинным преобразованием.

j-алгебры

Предположим, что грамм является алгеброй Ли транзитивной связной группы аналитических автоморфизмов ограниченной однородной области Икс, и разреши K быть подалгеброй, фиксирующей точку Икс. Тогда почти сложная структура j на Икс индуцирует эндоморфизм векторного пространства j из грамм такой, что

• j²= –1 на грамм/K
• [Икс,у] + j[jx,у] + j[Икс,jy] – [jx,jy] = 0 дюйм грамм/K; это следует из того факта, что почти сложная структура Икс интегрируемый
• На грамм такое, что ω [jx,jy] = ω [Икс,у] и ω [jx,Икс]> 0, если Икс∉K
• если L компактная подалгебра в грамм с jL⊆K+L тогда L⊆K

А j-алгебра является алгеброй Ли грамм с подалгеброй K и линейная карта j удовлетворяющие указанным выше свойствам.

Алгебра Ли связной группы Ли, транзитивно действующей на однородной ограниченной области, является j-алгебра, что неудивительно, поскольку j-алгебры определяются как обладающие очевидными свойствами такой алгебры Ли. Верно и обратное: любой j-алгебра - это алгебра Ли некоторой транзитивной группы автоморфизмов однородной ограниченной области. Это не дает соответствия 1: 1 между однородными ограниченными областями и j-алгебры, потому что однородная ограниченная область может иметь несколько различных групп Ли, действующих на ней транзитивно.

Рекомендации

• Кауп, Вильгельм; Мацусима, Ёдзо; Ochiai, Takushiro (1970), "Об автоморфизмах и эквивалентностях обобщенных областей Зигеля", Американский журнал математики, 92: 475–498, Дои:10.2307/2373335, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373335, МИСТЕР  0267127
• Мураками, Синго (1972), Об автоморфизмах областей Зигеля, Конспект лекций по математике, 286, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0058567, МИСТЕР  0364690
• Пятецкий-Шапиро, И. И. (1959), "Об одной задаче, предложенной Э. Картаном", Доклады Академии Наук СССР, 124: 272–273, ISSN  0002-3264, МИСТЕР  0101922
• Пятецкий-Шапиро, И. И. (1959б), «Геометрия однородных областей и теория автоморфных функций. Решение проблемы Э. Картана», Успехи матем. Наук (на русском), 14 (3): 190–192
• Пятецкий-Шапиро, И. И. (1963), "Области типа верхней полуплоскости в теории многих комплексных переменных", Proc. Междунар. Congr. Математики (Стокгольм, 1962). Дюрсхольм: Ин-т. Mittag-Leffler, стр. 389–396, МИСТЕР  0176105, заархивировано из оригинал на 2011-07-17
• Пятецкий-Шапиро, И. И. (1969) [1961], Автоморфные функции и геометрия классических областей, Математика и ее приложения, 8, Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science, МИСТЕР  0136770
• Сигель, Карл Людвиг (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Mathematische Annalen, 116: 617–657, Дои:10.1007 / BF01597381, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  0001251
• Винберг, Э. (2001) [1994], «Зигель домен», Энциклопедия математики, EMS Press
• Винберг, È. B .; Гиндикин, С.Г .; Пятецкий-Шапиро, И. И. (1963), "Классификация и каноническая реализация сложных однородных ограниченных областей", Труды Московского Математического Общества, 12: 359–388, ISSN  0134-8663, МИСТЕР  0158415 В приложении к (Пятецкий-Шапиро 1969 ).
• Сюй, Ичао (2005), Теория комплексных однородных ограниченных областей, Математика и ее приложения, 569, Пекин: Science Press, ISBN  978-1-4020-2132-9, МИСТЕР  2217650