Принцип разделения - Separation principle

В теория управления, а принцип разделения, более формально известный как принцип разделения оценки и контроля, утверждает, что при некоторых предположениях проблема проектирования оптимального регулятора обратной связи для стохастической системы может быть решена путем разработки оптимального наблюдатель для состояния системы, которое входит в оптимальную детерминированную контролер для системы. Таким образом, проблема может быть разбита на две отдельные части, что облегчает дизайн.

Первый пример такого принципа - это случай детерминированных линейных систем, а именно: если стабильная наблюдатель и стабильное состояние Обратная связь предназначены для линейная инвариантная во времени система, то объединенный наблюдатель и обратная связь стабильный. Принцип разделения вообще не выполняется для нелинейных систем в целом. Другой пример принципа разделения возникает при настройке линейных стохастических систем, а именно, что оценка состояния (возможно, нелинейная) вместе с оптимальным контроллером с обратной связью, разработанным для минимизации квадратичной стоимости, является оптимальной для задачи стохастического управления с выходными измерениями. Когда шум процесса и шума наблюдения гауссовы, оптимальное решение разделяется на Фильтр Калмана и линейно-квадратичный регулятор. Это известно как линейно-квадратично-гауссовское управление. В более общем смысле, при подходящих условиях и когда шум является мартингалом (с возможными скачками), снова применяется принцип разделения, известный как принцип разделения в стохастическом управлении^{[1][2][3][4][5][6]}. Принцип разделения также выполняется для наблюдателей с высоким коэффициентом усиления, используемых для оценки состояния класса нелинейных систем. ^[7], класс нелегальных наблюдателей, известных как кубические наблюдатели ^[8] при использовании в сочетании с линейной обратной связью по состоянию и управлением квантовыми системами.

Доказательство принципа разделения для детерминированных систем LTI

Рассмотрим детерминированную систему LTI:

${displaystyle {egin{aligned}{dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t)y(t)&=Cx(t)end{aligned}}}$

куда

${displaystyle u(t)}$ представляет входной сигнал,

${displaystyle y(t)}$ представляет выходной сигнал, а

${displaystyle x(t)}$ представляет внутреннее состояние системы.

Мы можем создать наблюдателя в форме

${displaystyle {dot {hat {x}}}=(A-LC){hat {x}}+Bu+Ly,}$

и государственная обратная связь

${displaystyle u(t)=-K{hat {x}},.}$

Определите ошибку е:

${displaystyle e=x-{hat {x}},.}$

потом

${displaystyle {dot {e}}=(A-LC)e,}$

${displaystyle u(t)=-K(x-e),.}$

Теперь мы можем записать динамику с обратной связью как

${displaystyle {egin{bmatrix}{dot {x}}{dot {e}}end{bmatrix}}={egin{bmatrix}A-BK&BK�&A-LCend{bmatrix}}{egin{bmatrix}xeend{bmatrix}}.}$

Поскольку это треугольный, то собственные значения просто те из А − BK вместе с теми из А − LC.^[9] Таким образом, стабильность наблюдателя и обратная связь независимый.

Рекомендации

1. Карл Юхан Астром (1970). Введение в теорию стохастического управления. 58. Академическая пресса. ISBN  0-486-44531-3..
2. Тайрон Дункан и Правин Варайя (1971). «О решениях стохастической системы управления». SIAM J. Control. 9 (3): 354–371..
3. M.H.A. Дэвис и П. Варайя (1972). «Информационные состояния для стохастических систем». J. Math. Анальный. Приложения. 37: 384–402..
4. Андерс Линдквист (1973). «Об управлении линейными стохастическими системами с обратной связью». SIAM Journal on Control. 11: 323–343..
5. А. Бенсуссан (1992). Стохастическое управление частично наблюдаемыми системами. Издательство Кембриджского университета..
6. Трифон Т. Георгиу и Андерс Линдквист (2013). «Принцип разделения в стохастическом управлении, Redux». IEEE Transactions по автоматическому контролю. 58 (10): 2481–2494. arXiv:1103.3005. Дои:10.1109 / TAC.2013.2259207..
7. Атасси, А.Н .; Халил, Х.К. «Принцип разделения для управления одним классом нелинейных систем». Труды 37-й конференции IEEE по решениям и контролю (кат. № 98CH36171). IEEE. Дои:10.1109 / cdc.1998.760800. ISBN  0-7803-4394-8.
8. Поделитесь Пасанд, Мохаммад Махди (2020-06-02). «Кубические наблюдатели Люенбергера для оценки состояния линейных систем». Международный журнал адаптивного управления и обработки сигналов. 34 (9): 1148–1161. Дои:10.1002 / acs.3125. ISSN  0890-6327.
9. Доказательство можно найти в этом math.stackexchange [1].

• Брезинский, Клод. Вычислительные аспекты линейного управления (численные методы и алгоритмы). Спрингер, 2002.