Гипотеза Сендова - Sendovs conjecture

В математике Гипотеза Сендова, иногда также называемый Гипотеза Илиева, касается отношения между местоположениями корни и критические точки из полиномиальная функция из комплексная переменная. Он назван в честь Благовест Сендов.

Гипотеза утверждает, что для многочлена

${\displaystyle f(z)=(z-r_{1})\cdots (z-r_{n}),\qquad (n\geq 2)}$

со всеми корнями р₁, ..., р_п внутри закрытого единичный диск |z| ≤ 1, каждый из п корни находятся на расстоянии не более 1 от хотя бы одной критической точки.

В Теорема Гаусса – Лукаса говорит, что все критические точки лежат в выпуклый корпус корней. Отсюда следует, что критические точки должны находиться в пределах единичного круга, поскольку корни находятся.

Гипотеза доказана дляп <9 Браун-Сян и дляп достаточно большой Дао^[1][2].

История

Эта гипотеза была впервые высказана Благовест Сендов в 1959 г. Эту гипотезу он предложил Никола Обрешков. В 1967 году Уолтер Хейман ошибочно приписал эту гипотезу Любомиру Илиеву. В 1969 году Меир и Шарма доказали гипотезу для многочленов с п <6. В 1991 г. Браун доказал гипотезу для п <7. Борча расширил доказательство до n <8 в 1996 г. Браун и Сян доказали гипотезу для п <9 в 1999 году. Теренс Тао доказал гипотезу для достаточно больших п в 2020 году.

Рекомендации

1. Теренс Тао (2020). «Гипотеза Сендова для многочленов достаточно высокой степени». arXiv:2012.04125 [math.CV ].
2. Теренс Тао. «Гипотеза Сендова для многочленов достаточно высокой степени». Какие новости.

• Шмайссер Г. Гипотезы Сендова и Смейл," Теория приближений: Том, посвященный Благовесту Сендову (Под ред. Б. Божоанова), София: ДАРБА, 2002, стр. 353–369.

внешняя ссылка

• Гипотеза Сендова Брюс Торренс при участии Пола Эбботта в Демонстрационный проект Wolfram