Полупараметрическая модель - Semiparametric model

В статистика, а полупараметрическая модель это статистическая модель который имеет параметрический и непараметрический составные части.

Статистическая модель - это параметризованное семейство раздач: ${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$ проиндексировано параметр ${\displaystyle \theta }$.

• А параметрическая модель модель, в которой параметр индексации ${\displaystyle \theta }$ вектор в ${\displaystyle k}$-размерный Евклидово пространство, для некоторого неотрицательного целого числа ${\displaystyle k}$.^[1] Таким образом, ${\displaystyle \theta }$ конечномерна, а ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}}$.
• С непараметрическая модель, множество возможных значений параметра ${\displaystyle \theta }$ это подмножество некоторого пространства ${\displaystyle V}$, что не обязательно конечномерно. Например, мы могли бы рассматривать множество всех распределений со средним 0. Такими пространствами являются векторные пространства с топологической структурой, но не может быть конечномерным как векторные пространства. Таким образом, ${\displaystyle \Theta \subseteq V}$ для некоторых возможно бесконечномерное пространство ${\displaystyle V}$.
• В полупараметрической модели параметр имеет как конечномерную составляющую, так и бесконечномерную составляющую (часто действительную функцию, определенную на действительной прямой). Таким образом, ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}\times V}$, куда ${\displaystyle V}$ - бесконечномерное пространство.

На первый взгляд может показаться, что полупараметрические модели включают непараметрические модели, поскольку они имеют как бесконечномерную, так и конечномерную составляющую. Однако полупараметрическая модель считается «меньшей», чем полностью непараметрическая модель, потому что нас часто интересует только конечномерная составляющая ${\displaystyle \theta }$. То есть бесконечномерная составляющая рассматривается как неприятный параметр.^[2] В непараметрических моделях, напротив, основной интерес представляет оценка бесконечномерного параметра. Таким образом, задача оценки статистически сложнее в непараметрических моделях.

Эти модели часто используют сглаживание или же ядра.

Пример

Хорошо известным примером полупараметрической модели является Модель пропорциональных рисков Кокса.^[3] Если нам интересно узнать время ${\displaystyle T}$ в случае такого события, как смерть из-за рака или отказ лампочки, модель Кокса определяет следующую функцию распределения для ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle F(t)=1-\exp \left(-\int _{0}^{t}\lambda _{0}(u)e^{\beta 'x}du\right),}$

куда ${\displaystyle x}$ - ковариантный вектор, а ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ неизвестные параметры. ${\displaystyle \theta =(\beta ,\lambda _{0}(u))}$. Здесь ${\displaystyle \beta }$ конечномерна и представляет интерес; ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ - неизвестная неотрицательная функция времени (известная как базовая функция риска) и часто неприятный параметр. Множество возможных кандидатов на ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ бесконечномерно.

Смотрите также

• Полупараметрическая регрессия
• Статистическая модель
• Обобщенный метод моментов

Примечания

1. Bickel, P.J .; Klaassen, C.A.J .; Ритов, Ю .; Веллнер, Дж. А. (2006), «Полупараметрика», в Коц, С.; и другие. (ред.), Энциклопедия статистических наук, Wiley.
2. Оукс, Д. (2006), «Полупараметрические модели», в Коц, С.; и другие. (ред.), Энциклопедия статистических наук, Wiley.
3. Балакришнан, Н .; Рао, К. (2004). Справочник по статистике 23: Достижения в области анализа выживаемости. Эльзевир. п. 126.

Рекомендации

• Bickel, P.J .; Klaassen, C.A.J .; Ритов, Ю .; Веллнер, Дж. А. (1998), Эффективное и адаптивное оценивание полупараметрических моделей, Springer
• Хердле, Вольфганг; Мюллер, Марлен; Сперлих, Стефан; Верватц, Аксель (2004), Непараметрические и полупараметрические модели, Springer
• Косорок, Майкл Р. (2008), Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод, Springer
• Циатис, Анастасиос А. (2006), Полупараметрическая теория и недостающие данные, Springer
• Бегун, Джанет М .; Холл, W. J .; Хуан, Вэй-Минь; Веллнер, Джон А. (1983), "Информация и асимптотическая эффективность в параметрических - непараметрических моделях", Annals of Statistics, 11 (1983), no. 2, 432–452