Фонарь Schwarz - Schwarz lantern

В математике Фонарь Schwarz (также известен как Сапог Шварца, после математика Герман Шварц ) это патологический пример трудности определения площади гладкой (криволинейной) поверхности как границы площадей многогранники. Рассматриваемая криволинейная поверхность является частью правый круговой цилиндр. Рассматриваемое дискретное полиэдральное приближение имеет ${ displaystyle 2n}$ осевые «срезы». ${ displaystyle 2m}$ вершины располагаются радиально вдоль каждого среза на расстоянии по окружности ${ displaystyle pi / m}$ друг от друга. Важно отметить, что вершины расположены так, чтобы они сдвигались по фазе на ${ displaystyle pi / 2m}$ с каждым ломтиком.

Фонарь Schwarz с

{ displaystyle 2n = 6}

осевые срезы и

{ displaystyle 2m = 10}

радиальные вершины.

Герман Шварц показал в 1880 году, что просто увеличить ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ если мы желаем площадь поверхности многогранника, чтобы сходиться к площади искривленной поверхности.^[1] В зависимости от отношения ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle n}$ площадь фонаря может сходиться к площади цилиндра до предела, произвольно большего, чем площадь цилиндра, до бесконечности или, другими словами, расходиться. Таким образом, фонарь Schwarz демонстрирует, что простое подключение вписанный вершин недостаточно для обеспечения сходимости площадей поверхностей.

Анимация схождения фонаря Шварца (или его отсутствия) для различных стратегий доработки.

Многогранная поверхность похожа на цилиндрическую. бумажный фонарь.

Сумма углов в каждой вершине равна двум плоским углам ( ${ displaystyle 2 pi}$ радианы). Как следствие, фонарь Schwarz можно сложить из плоского листа бумаги.

Отношение к длине дуги и площади поверхности

в работа архимеда уже кажется, что длина круга может быть аппроксимирована длиной правильных многогранников, вписанных или описанных в круг. В общем, для гладкий или же выпрямляемые кривые их длину можно определить как супремум длин вписанных в них ломаных. Фонарь Schwarz показывает, что площадь поверхности не может быть определена как супремум вписанных многогранных поверхностей.

История

Шварц разработал свою конструкцию как контрпример к ошибочному определению в Ж. А. Серре книга Курс де калькуляции дифференциала и интеграла, второй том, страница 296 первого издания или страница 298 второго издания, в которых говорится:

Soit une Часть поверхности Courbe terminee par un contour ${ displaystyle C}$ ; nous nommerons aire de cette surface la limite ${ displaystyle S}$ vers laquelletend l'aire d'une поверхностный многогранник inscrite formee de faces triangulaires et terminee par un contour polygonal ${ displaystyle Gamma}$ Ayant pour Limite Le Contour ${ displaystyle C}$ .
Il faut demontrer que la limite ${ displaystyle S}$ existe et qu'elle est independante de la loi suivant laquelle decroissent les faces de la surface polyedrale inscrite '.

По-английски

Пусть часть криволинейной поверхности заканчивается контуром ${ displaystyle C}$ ; будем называть площадь этой поверхности пределом ${ displaystyle S}$ в которую вписанная часть поверхности многогранника образует треугольные грани и заканчивается многоугольным контуром ${ displaystyle Gamma}$ чей предел - контур ${ displaystyle C}$ .
Необходимо показать, что предел ${ displaystyle S}$ существует и не зависит от закона, согласно которому уменьшаются грани вписанной многогранной поверхности.

Независимо от Шварца, Джузеппе Пеано нашел тот же контрпример, когда ученик своего учителя Анджело Дженокки, который уже знал о сложности определения площади поверхности из своего общения со Шварцем. Дженокки сообщил Чарльз Эрмит, который использовал ошибочное определение Серре в своем курсе. После запроса подробностей у Шварца, Эрмит пересмотрел свой курс и опубликовал пример во втором издании своих конспектов лекций (1883 г.). Оригинальная заметка Шварца не была опубликована до второго издания его собрания сочинений в 1890 году.

Пределы площади

Прямой круговой цилиндр радиуса ${ displaystyle r}$ и высота ${ displaystyle h}$ можно параметризовать в декартовых координатах с помощью уравнений

{ Displaystyle х = г соз (и)}

{ Displaystyle у = г грех (и)}

{ displaystyle z = v}

за ${ Displaystyle 0 leq и leq 2 pi}$ и ${ displaystyle 0 leq v leq h}$ . Фонарь Шварца представляет собой многогранник с ${ displaystyle 4mn}$ треугольные грани вписаны в цилиндр.

Вершины многогранника в параметризации соответствуют точкам

{ displaystyle u = { frac {2 mu pi} {m}}}

{ displaystyle v = { frac { nu h} {n}}}

и точки

{ Displaystyle и = { гидроразрыва {(2 мю +1) pi} {м}}}

{ displaystyle v = { frac {(2 nu +1) h} {2n}}}

с ${ Displaystyle му = 0,1,2, ldots, м-1}$ и ${ Displaystyle Nu = 0,1,2, ldots, п-1}$ . Все лица равнобедренный треугольники конгруэнтный друг к другу. Основание и высота каждого из этих треугольников имеют длину

{ displaystyle 2r sin left ({ frac { pi} {m}} right) { text {and}} { sqrt {r ^ {2} left [1- cos left ({ frac { pi} {m}} right) right] ^ {2} + left ({ frac {h} {2n}} right) ^ {2}}}}

соответственно. Это дает общую площадь поверхности для фонаря Schwarz

{ displaystyle S (m, n) = 4mnr sin left ({ frac { pi} {m}} right) { sqrt {4r ^ {2} sin ^ {4} left ({ frac { pi} {2m}} right) + left ({ frac {h} {2n}} right) ^ {2}}}}

.

Упрощение синусов, когда ${ displaystyle m to infty}$

{ Displaystyle S (м, п) simeq 4 pi nr { sqrt { left ({ frac { pi ^ {2} r} {2m ^ {2}}} right) ^ {2} + left ({ frac {h} {2n}} right) ^ {2}}} = 2 pi r { sqrt { left ( pi ^ {2} r { frac {n} {m ^ {2}}} right) ^ {2} + h ^ {2}}}}

.

Из этой формулы следует, что:

Если ${ displaystyle n = am}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle a}$ , тогда ${ Displaystyle S (м, am) до 2 pi rh}$ когда ${ displaystyle m to infty}$ . Этот предел представляет собой площадь поверхности цилиндра, в который вписан фонарь Шварца.
Если ${ displaystyle n = am ^ {2}}$ для некоторой постоянной ${ displaystyle a}$ , тогда ${ Displaystyle S (м, am ^ {2}) to 2 pi r { sqrt { pi ^ {4} r ^ {2} a ^ {2} + h ^ {2}}}}$ когда ${ displaystyle m to infty}$ . Этот предел зависит от значения ${ displaystyle a}$ и может быть сделана равной любому числу не меньше площади цилиндра ${ displaystyle 2r pi h}$ .
Если ${ displaystyle n = am ^ {3}}$ , тогда ${ Displaystyle S (м, am ^ {3}) to infty}$ в качестве ${ displaystyle m to infty}$ .