Скорость рассеяния - Scattering rate

Математически можно вывести формулу для скорости рассеяние когда пучок электронов проходит через материал.

Картина взаимодействия

Определим невозмущенный гамильтониан как ${displaystyle H_{0}}$, возмущающий гамильтониан, зависящий от времени, равен ${displaystyle H_{1}}$ и полный гамильтониан ${displaystyle H}$.

Предполагается, что собственные состояния невозмущенного гамильтониана равны

${displaystyle H=H_{0}+H_{1} }$

${displaystyle H_{0}|kangle =E(k)|kangle }$

в картинка взаимодействия, состояние ket определяется формулой

${displaystyle |k(t)angle _{I}=e^{iH_{0}t/hbar }|k(t)angle _{S}=sum _{k'}c_{k'}(t)|k'angle }$

Автор Уравнение Шредингера, мы видим

${displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}}|k(t)angle _{I}=H_{1I}|k(t)angle _{I}}$

которое является уравнением типа Шредингера с полным ${displaystyle H}$ заменен на ${displaystyle H_{1I}}$.

Решение дифференциальное уравнение, мы можем найти коэффициент n-состояния.

${displaystyle c_{k'}(t)=delta _{k,k'}-{frac {i}{hbar }}int _{0}^{t}dt';langle k'|H_{1}(t')|kangle ,e^{-i(E_{k}-E_{k'})t'/hbar }}$

где член нулевого порядка и член первого порядка равны

${displaystyle c_{k'}^{(0)}=delta _{k,k'}}$

${displaystyle c_{k'}^{(1)}=-{frac {i}{hbar }}int _{0}^{t}dt';langle k'|H_{1}(t')|kangle ,e^{-i(E_{k}-E_{k'})t'/hbar }}$

Скорость перехода

Вероятность нахождения ${displaystyle |k'angle }$ находится путем оценки ${displaystyle |c_{k'}(t)|^{2}}$.

В случае постоянного возмущения${displaystyle c_{k'}^{(1)}}$ рассчитывается

${displaystyle c_{k'}^{(1)}={frac {langle k'|H_{1}|kangle }{E_{k'}-E_{k}}}(1-e^{i(E_{k'}-E_{k})t/hbar })}$

${displaystyle |c_{k'}(t)|^{2}=|langle k'|H_{1}|kangle |^{2}{frac {sin^{2}({frac {E_{k'}-E_{k}}{2hbar }}t)}{({frac {E_{k'}-E_{k}}{2hbar }})^{2}}}{frac {1}{hbar ^{2}}}}$

Используя уравнение, которое

${displaystyle lim _{alpha ightarrow infty }{frac {1}{pi }}{frac {sin^{2}(alpha x)}{alpha x^{2}}}=delta (x)}$

Скорость перехода электрона из начального состояния ${displaystyle k}$ до конечного состояния ${displaystyle k'}$ дан кем-то

${displaystyle P(k,k')={frac {2pi }{hbar }}|langle k'|H_{1}|kangle |^{2}delta (E_{k'}-E_{k})}$

куда ${displaystyle E_{k}}$ и ${displaystyle E_{k'}}$ - энергии начального и конечного состояний, включая состояние возмущения, и обеспечивает ${displaystyle delta }$-функция указывает на сохранение энергии.

Скорость рассеяния

Скорость рассеяния w (k) определяется суммированием всех возможных конечных состояний k ' рассеяние электронов от начального состояния k до конечного состояния k ', и определяется

${displaystyle w(k)=sum _{k'}P(k,k')={frac {2pi }{hbar }}sum _{k'}|langle k'|H_{1}|kangle |^{2}delta (E_{k'}-E_{k})}$

Интегральная форма

${displaystyle w(k)={frac {2pi }{hbar }}{frac {L^{3}}{(2pi )^{3}}}int d^{3}k'|langle k'|H_{1}|kangle |^{2}delta (E_{k'}-E_{k})}$

Рекомендации

• К. Хамагучи (2001). Основы физики полупроводников. Springer. С. 196–253.
• J.J. Сакурай. Современная квантовая механика. Эддисон Уэсли Лонгман. С. 316–319.