Теорема Сен-Венана - Saint-Venants theorem

В механика твердого тела, принято анализировать свойства балки с постоянным сечением. Теорема Сен-Венана заявляет, что односвязный сечение с максимальным крутильный жесткость это круг.^[1] Он назван в честь французского математика. Адемар Жан Клод Барре де Сен-Венан.

Учитывая односвязный домен D в плоскости с площадью А, ${\displaystyle \rho }$ радиус и ${\displaystyle \sigma }$ площадь его наибольшего вписанного круга, жесткость на кручение п из D определяется

${\displaystyle P=4\sup _{f}{\frac {\left(\iint \limits _{D}f\,dx\,dy\right)^{2}}{\iint \limits _{D}{f_{x}}^{2}+{f_{y}}^{2}\,dx\,dy}}.}$

Здесь супремум берется по всем непрерывно дифференцируемым функциям, обращающимся в нуль на границе D. Существование этого супремума является следствием Неравенство Пуанкаре.

Сен-Венан^[2] предположил в 1856 г., что во всех областях D равной площади А круговой имеет наибольшую жесткость на кручение, то есть

${\displaystyle P\leq P_{\text{circle}}\leq {\frac {A^{2}}{2\pi }}.}$

Строгое доказательство этого неравенства было дано только в 1948 г. Pólya.^[3] Другое доказательство было дано Давенпорт и сообщили в.^[4] Более общее доказательство и оценка

${\displaystyle P<4\rho ^{2}A}$

дается Макаи.^[1]

Примечания

1. Э. Макай, Доказательство теоремы Сен-Венана о жесткости на кручение, Acta Mathematica Hungarica, том 17, номера 3–4 / сентябрь, 419–422, 1966 г.Дои:10.1007 / BF01894885
2. Барр де Сен-Венан, широко известный как as Mémoire sur la torsion des prismes, Mémoires presentés par divers savants à l'Académie des Sciences, 14 (1856), стр. 233–560.
3. Полиа Г. Торсионная жесткость, основная частота, электростатическая емкость и симметризация, Quarterly of Applied Math., 6 (1948), стр. 267, 277.
4. Полиа Г., Сегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике (Издательство Принстонского университета, 1951).