Теорема Рауса - Rouths theorem

Теорема Рауса

В геометрия, Теорема Рауса определяет соотношение площадей между заданным треугольником и треугольником, образованным попарным пересечением трех чевианы. Теорема утверждает, что если в треугольник ${ displaystyle ABC}$ точки ${ displaystyle D}$ , ${ displaystyle E}$ , и ${ displaystyle F}$ лежать на сегментах ${ displaystyle BC}$ , ${ displaystyle CA}$ , и ${ displaystyle AB}$ , затем писать ${ displaystyle { tfrac {CD} {BD}}}$ ${ displaystyle = x}$ , ${ displaystyle { tfrac {AE} {CE}}}$ ${ displaystyle = y}$ , и ${ displaystyle { tfrac {BF} {AF}}}$ ${ displaystyle = z}$ подписанный площадь треугольника, образованного чевианами ${ displaystyle AD}$ , ${ displaystyle BE}$ , и ${ displaystyle CF}$ это площадь треугольника ${ displaystyle ABC}$ раз

{ displaystyle { frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xy + y + 1) (yz + z + 1) (zx + x + 1)}}.}.}

Эта теорема была дана Эдвард Джон Раут на странице 82 его Трактат по аналитической статике с многочисленными примерами в 1896 г. Частный случай ${ Displaystyle х = у = г = 2}$ стал популяризирован как треугольник с площадью одной седьмой. В ${ Displaystyle х = у = г = 1}$ случай означает, что три медианы параллельны (через центроид ).

Доказательство

Теорема Рауса

Предположим, что площадь треугольника ${ displaystyle ABC}$ равно 1. Для треугольника ${ displaystyle ABD}$ и линия ${ displaystyle FRC}$ с помощью Теорема Менелая, Мы смогли получить:

{ displaystyle { frac {AF} {FB}} times { frac {BC} {CD}} times { frac {DR} {RA}} = 1}

потом ${ displaystyle { frac {DR} {RA}} = { frac {BF} {FA}} times { frac {DC} {CB}} = { frac {zx} {x + 1}}}$ Итак, площадь треугольника ${ displaystyle ARC}$ является:

{ displaystyle S_ {ARC} = { frac {AR} {AD}} S_ {ADC} = { frac {AR} {AD}} times { frac {DC} {BC}} S_ {ABC} = { frac {x} {zx + x + 1}}}

Точно так же мы могли знать: ${ displaystyle S_ {BPA} = { frac {y} {xy + y + 1}}}$ и ${ Displaystyle S_ {CQB} = { frac {z} {yz + z + 1}}}$ Таким образом, площадь треугольника ${ displaystyle PQR}$ является:

{ Displaystyle Displaystyle S_ {PQR} = S_ {ABC} -S_ {ARC} -S_ {BPA} -S_ {CQB}}

{ displaystyle = 1 - { frac {x} {zx + x + 1}} - { frac {y} {xy + y + 1}} - { frac {z} {yz + z + 1}} }

{ displaystyle = { frac {(xyz-1) ^ {2}} {(xz + x + 1) (yx + y + 1) (zy + z + 1)}}.}.

Цитаты

Обычно теорема Рауса цитируется. Трактат по аналитической статике с многочисленными примерами, Том 1, гл. IV, в второе издание 1896 г.п. 82 возможно потому, что с этим изданием было легче обращаться. Однако Раус дал теорему уже в первое издание 1891 г., том 1, гл. IV, п. 89. Несмотря на то, что нумерация страниц между редакциями изменилась, формулировка соответствующей сноски осталась прежней.

Раус завершает свое расширенное примечание предостережение:

«Автор не встречал этих выражений для часто встречающихся областей двух треугольников. Поэтому он поместил их здесь, чтобы можно было легче понять аргумент в тексте».

По-видимому, Раус чувствовал, что эти обстоятельства не изменились за пять лет между выпусками. С другой стороны, название книги Рауса использовалось ранее Исаак Тодхантер; обоих тренировал Уильям Хопкинс.

Хотя Раус опубликовал теорему в своей книге, это не первое опубликованное утверждение. Он заявлен и доказан как всадник (vii) на странице 33 Решения Кембриджского сенатского дома проблем и всадников за 1878 год, то есть математические трипо того года, и ссылка https://archive.org/details/solutionscambri00glaigoog. Утверждается, что автором задач с римскими цифрами является Глейшер.Рут был известным Математические Tripos тренер, когда вышла его книга, наверняка был знаком с содержанием экзамена 1878 года. Таким образом, его заявление Автор не встречал подобных выражений для часто встречающихся площадей двух треугольников. вызывает недоумение.

Проблемы в этом духе имеют долгую историю в развлекательная математика и математический педагогика, возможно, один из старейших примеров определения пропорций четырнадцати регионов Желудок доска. С Раусом Кембридж в виду, треугольник с площадью одной седьмой, связанный в некоторых аккаунтах с Ричард Фейнман, отображается, например, как вопрос 100, п. 80, в Элементы геометрии Евклида (Пятое школьное издание ), к Роберт Поттс (1805-1885) Тринити-колледжа, опубликовано в 1859 году; сравните также его Вопросы 98, 99 на той же странице. Поттс стоял двадцать шестой Wrangler в 1832 году, а затем, как Хопкинс и Раус, тренировал в Кембридже. Пояснительные сочинения Потта по геометрии были признаны медаль на Международной выставке 1862 г., а также достопочтенным. LL.D. от Колледж Уильяма и Мэри, Вильямсбург, Вирджиния.

Теорема Рауса - Rouths theorem

Доказательство

Цитаты

Рекомендации