Теорема Ричардса - Richards theorem

Теорема Ричардса математический результат из-за Пол I. Ричардс в 1947 году. Теорема утверждает, что для,

${\displaystyle R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}}}$

если ${\displaystyle Z(s)}$ это положительно-действительная функция (PRF) тогда ${\displaystyle R(s)}$ является PRF для всех реальных положительных значений ${\displaystyle k}$.^[1]

Теорема имеет приложения в электротехнике. сетевой синтез.

Доказательство

${\displaystyle R(s)={\frac {kZ(s)-sZ(k)}{kZ(k)-sZ(s)}}}$

куда ${\displaystyle Z(s)}$ это PRF, ${\displaystyle k}$ - положительная действительная постоянная, а ${\displaystyle s=\sigma +i\omega }$ это комплексная частота переменная, может быть записана как,

${\displaystyle R(s)={\dfrac {1-W(s)}{1+W(s)}}}$

куда,

${\displaystyle W(s)={1-{\dfrac {Z(s)}{Z(k)}} \over 1+{\dfrac {Z(s)}{Z(k)}}}\left({\frac {k+s}{k-s}}\right)}$

С ${\displaystyle Z(s)}$ PRF тогда

${\displaystyle 1+{\dfrac {Z(s)}{Z(k)}}}$

тоже PRF. В нули этой функции являются полюса из ${\displaystyle W(s)}$. Так как PRF не может иметь нулей в правой половине s-самолет, тогда ${\displaystyle W(s)}$ не может быть полюсов в правой половине s-плоскость и, следовательно, аналитична в правой половине s-самолет.

Позволять

${\displaystyle Z(i\omega )=r(\omega )+ix(\omega )}$

Тогда величина ${\displaystyle W(i\omega )}$ дан кем-то,

${\displaystyle \left|W(i\omega )\right|={\sqrt {\dfrac {(Z(k)-r(\omega ))^{2}+x(\omega )^{2}}{Z(k)+r(\omega ))^{2}+x(\omega )^{2}}}}}$

Поскольку условие PRF требует, чтобы ${\displaystyle r(\omega )\geq 0}$ для всех ${\displaystyle \omega }$ тогда ${\displaystyle \left|W(i\omega )\right|\leq 1}$ для всех ${\displaystyle \omega }$. Максимальная величина ${\displaystyle W(s)}$ происходит на ${\displaystyle i\omega }$ ось, потому что ${\displaystyle W(s)}$ аналитичен в правой половине s-самолет. Таким образом ${\displaystyle |W(s)|\leq 1}$ за ${\displaystyle \sigma \geq 0}$.

Позволять ${\displaystyle W(s)=u(\sigma ,\omega )+iv(\sigma ,\omega )}$, то реальная часть ${\displaystyle R(s)}$ дан кем-то,

${\displaystyle \Re (R(s))={\dfrac {1-|W(s)|^{2}}{(1+u(\sigma ,\omega ))^{2}+v^{2}(\sigma ,\omega )}}}$

Потому что ${\displaystyle W(s)\leq 1}$ за ${\displaystyle \sigma \geq 0}$ тогда ${\displaystyle \Re (R(s))\geq 0}$ за ${\displaystyle \sigma \geq 0}$ и следовательно ${\displaystyle R(s)}$ должен быть PRF.^[2]

Теорема Ричардса также может быть получена из Лемма Шварца.^[3]

Использует

Теорема была введена Пол I. Ричардс в рамках его исследования свойств PRF. Период, термин PRF был придуман Отто Брун который доказал, что собственность PRF была необходимо и достаточно условие реализации функции как пассивной электрической сети, важный результат в сетевой синтез.^[4] Ричардс привел теорему в своей статье 1947 года в сокращенной форме:^[5]

${\displaystyle R(s)={\frac {Z(s)-sZ(1)}{Z(1)-sZ(s)}}}$

то есть частный случай, когда ${\displaystyle k=1}$

Теорема (в более общем виде ${\displaystyle k}$ возможность принимать любую ценность) легли в основу сетевой синтез техника, представленная Рауль Ботт и Ричард Даффин в 1949 г.^[6] В синтезе Ботта-Даффина ${\displaystyle Z(s)}$ представляет электрическую сеть, которая будет синтезирована, и ${\displaystyle R(s)}$ другая (неизвестная) сеть, включенная в нее (${\displaystyle R(s)}$ безразмерный, но ${\displaystyle R(s)Z(k)}$ имеет единицы импеданса и ${\displaystyle R(s)/Z(k)}$ имеет единицы допуска). Изготовление ${\displaystyle Z(s)}$ предмет дает

${\displaystyle Z(s)=\left({\frac {R(s)}{Z(k)}}+{\frac {k}{sZ(k)}}\right)^{-1}+\left({\frac {1}{Z(k)R(s)}}+{\frac {s}{kZ(k)}}\right)^{-1}}$

С ${\displaystyle Z(k)}$ просто положительное действительное число, ${\displaystyle Z(s)}$ можно синтезировать как новую сеть, пропорциональную ${\displaystyle R(s)}$ параллельно с конденсатором все последовательно с сетью, пропорциональной обратной величине ${\displaystyle R(s)}$ параллельно с индуктором. Подходящим выбором для стоимости ${\displaystyle k}$, резонансный контур можно извлечь из ${\displaystyle R(s)}$ оставив функцию ${\displaystyle Z'(s)}$ на два градуса ниже, чем ${\displaystyle Z(s)}$. Затем весь процесс можно итеративно применять к ${\displaystyle Z'(s)}$ пока степень функции не снизится до чего-то, что можно реализовать напрямую.^[7]

Преимущество синтеза Ботта-Даффина состоит в том, что, в отличие от других методов, он способен синтезировать любой PRF. Другие методы имеют ограничения, например, возможность работать только с двумя типами элемент в любой единой сети. Его главный недостаток в том, что он не приводит к минимальному количеству элементов в сети. Количество элементов экспоненциально растет с каждой итерацией. После первой итерации есть два ${\displaystyle Z'}$ и связанных элементов, после второго есть четыре ${\displaystyle Z''}$ и так далее.^[8]

Хаббард отмечает, что Ботт и Даффин, похоже, не знали отношения теоремы Ричардса к лемме Шварца, и предлагает это как свое собственное открытие:^[9] но Ричардс, конечно, использовал его в своем доказательстве теоремы.^[10]

Рекомендации

1. Крыло, стр. 122
2. Крыло, стр. 122–123.
3. Хаббард, стр. 33
4. Кауэр и другие., стр. 6–7
5. Ричардс, стр. 779
6. Крыло, стр. 122
7. Крыло, стр. 123–125.
   • Хьюз и другие., стр. 284–285
8. Крыло, стр. 115
9. Хаббард, стр. 33
10. Ричардс, стр. 779

Библиография

• Ботт, Рауль; Даффин, Ричард, «Синтез импеданса без использования трансформаторов», Журнал прикладной физики, т. 20, вып. 8, стр. 816, август 1949 г.
• Кауэр, Эмиль; Матис, Вольфганг; Паули, Райнер, «Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900-1945)», Материалы четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000), Перпиньян, июнь 2000 г.
• Хаббард, Джон Х. "Синтез электрических цепей Ботта-Даффина", стр. 33–40 в, Котюга, П. Роберт (ред), Праздник математического наследия Рауля Ботта, Американское математическое общество, 2010 г. ISBN  9780821883815.
• Хьюз, Тимоти Х .; Морелли, Алессандро; Смит, Малькольм С., «Синтез электрических сетей: обзор последних работ», стр. 281–293 в, Tempo, R .; Юркович, С .; Мисра, П. (ред.), Новые приложения теории управления и систем, Springer, 2018 ISBN  9783319670676.
• Ричардс, Пол I., «Особый класс функций с положительной действительной частью в полуплоскости», Математический журнал герцога, т. 14, вып. 3, 777–786, 1947.
• Крыло, Омар, Классическая теория цепей, Springer, 2008 г. ISBN  0387097406.