Транспортная теорема Рейнольдса - Reynolds transport theorem

В дифференциальное исчисление, то Транспортная теорема Рейнольдса (также известная как транспортная теорема Лейбница – Рейнольдса), или, кратко, Теорема Рейнольдса, является трехмерным обобщением Интегральное правило Лейбница который также известен как дифференцирование под знаком интеграла Теорема названа в честь Осборн Рейнольдс (1842–1912). Он используется для преобразования производных интегральных величин и полезен при формулировании основных уравнений механика сплошной среды.

Рассмотрите возможность интеграции ж = ж(Икс,т) по зависящей от времени области Ω (т) что имеет границу ∂Ω (т), а затем производную по времени:

${displaystyle {frac {d}{dt}}int _{Omega (t)}mathbf {f} ,dV.}$

Если мы хотим переместить производную внутри интеграла, есть две проблемы: зависимость от времени ж, а также введение и удаление пространства из Ω из-за его динамической границы. Транспортная теорема Рейнольдса обеспечивает необходимую основу.

Общая форма

Теорема переноса Рейнольдса может быть выражена следующим образом:^[1][2][3]

${displaystyle {frac {d}{dt}}int _{Omega (t)}mathbf {f} ,dV=int _{Omega (t)}{frac {partial mathbf {f} }{partial t}},dV+int _{partial Omega (t)}left(mathbf {v} ^{b}cdot mathbf {n} ight)mathbf {f} ,dA}$

в котором п(Икс,т) является направленным наружу единичным нормальным вектором, Икс точка в области и переменная интегрирования, dV и dA объемные и поверхностные элементы на Икс, и v^б(Икс,т) - скорость элемента площади (нет скорость потока). Функция ж может быть тензорным, векторным или скалярным.^[4] Обратите внимание, что интеграл в левой части является функцией исключительно времени, поэтому была использована полная производная.

Форма для материального элемента

В механике сплошных сред эта теорема часто используется для материальные элементы. Это посылки жидкостей или твердых тел, в которые не входит и не выходит ни один материал. Если Ω (т) материальный элемент, то есть функция скорости v = v(Икс,т), а граничные элементы подчиняются

${displaystyle mathbf {v} ^{b}cdot mathbf {n} =mathbf {v} cdot mathbf {n} .}$

Это условие можно заменить, чтобы получить:^[5]

${displaystyle {frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} ,dVight)=int _{Omega (t)}{frac {partial mathbf {f} }{partial t}},dV+int _{partial Omega (t)}(mathbf {v} cdot mathbf {n} )mathbf {f} ,dA.}$

Доказательство материального элемента

Позволять Ω0 быть эталонной конфигурацией региона Ω (т). Пусть движение и градиент деформации быть предоставленным ${displaystyle mathbf {x} ={oldsymbol {varphi }}(mathbf {X} ,t),}$ ${displaystyle {oldsymbol {F}}(mathbf {X} ,t)={oldsymbol {abla }}{oldsymbol {varphi }}.}$ Позволять J(Икс,т) = det F(Икс,т). Определять ${displaystyle {hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t)=mathbf {f} ({oldsymbol {varphi }}(mathbf {X} ,t),t).}$ Тогда интегралы в текущей и эталонной конфигурациях связаны соотношением ${displaystyle {egin{aligned}int _{Omega (t)}mathbf {f} (mathbf {x} ,t),dV&=int _{Omega _{0}}mathbf {f} ({oldsymbol {varphi }}(mathbf {X} ,t),t),J(mathbf {X} ,t),dV_{0}&=int _{Omega _{0}}{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t),J(mathbf {X} ,t),dV_{0}.end{aligned}}}$ То, что этот вывод относится к материальному элементу, подразумевается постоянством времени эталонной конфигурации: он постоянен в координатах материала. Производная интеграла по объему по времени определяется как ${displaystyle {frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} (mathbf {x} ,t),dVight)=lim _{Delta tightarrow 0}{frac {1}{Delta t}}left(int _{Omega (t+Delta t)}mathbf {f} (mathbf {x} ,t+Delta t),dV-int _{Omega (t)}mathbf {f} (mathbf {x} ,t),dVight).}$ Преобразуя в интегралы по эталонной конфигурации, получаем ${displaystyle {frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} (mathbf {x} ,t),dVight)=lim _{Delta tightarrow 0}{frac {1}{Delta t}}left(int _{Omega _{0}}{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t+Delta t),J(mathbf {X} ,t+Delta t),dV_{0}-int _{Omega _{0}}{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t),J(mathbf {X} ,t),dV_{0}ight).}$ С Ω0 не зависит от времени, мы имеем ${displaystyle {egin{aligned}{frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} (mathbf {x} ,t),dVight)&=int _{Omega _{0}}left(lim _{Delta tightarrow 0}{frac {{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t+Delta t),J(mathbf {X} ,t+Delta t)-{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t),J(mathbf {X} ,t)}{Delta t}}ight),dV_{0}&=int _{Omega _{0}}{frac {partial }{partial t}}left({hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t),J(mathbf {X} ,t)ight),dV_{0}&=int _{Omega _{0}}left({frac {partial }{partial t}}{ig (}{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t){ig )},J(mathbf {X} ,t)+{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t),{frac {partial }{partial t}}{ig (}J(mathbf {X} ,t){ig )}ight),dV_{0}.end{aligned}}}$ Производная по времени от J дан кем-то:[6] ${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial J(mathbf {X} ,t)}{partial t}}={frac {partial }{partial t}}(det {oldsymbol {F}})&=(det {oldsymbol {F}})({oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} )&=J(mathbf {X} ,t),{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} {ig (}{oldsymbol {varphi }}(mathbf {X} ,t),t{ig )}&=J(mathbf {X} ,t),{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} (mathbf {x} ,t).end{aligned}}}$ Следовательно, ${displaystyle {egin{aligned}{frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} (mathbf {x} ,t),dVight)&=int _{Omega _{0}}left({frac {partial }{partial t}}left({hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t)ight),J(mathbf {X} ,t)+{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t),J(mathbf {X} ,t),{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} (mathbf {x} ,t)ight),dV_{0}&=int _{Omega _{0}}left({frac {partial }{partial t}}left({hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t)ight)+{hat {mathbf {f} }}(mathbf {X} ,t),{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} (mathbf {x} ,t)ight),J(mathbf {X} ,t),dV_{0}&=int _{Omega (t)}left({dot {mathbf {f} }}(mathbf {x} ,t)+mathbf {f} (mathbf {x} ,t),{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} (mathbf {x} ,t)ight),dV.end{aligned}}}$ куда ${displaystyle {dot {mathbf {f} }}}$ это материальная производная по времени из ж. Материальная производная дается формулой ${displaystyle {dot {mathbf {f} }}(mathbf {x} ,t)={frac {partial mathbf {f} (mathbf {x} ,t)}{partial t}}+{ig (}{oldsymbol {abla }}mathbf {f} (mathbf {x} ,t){ig )}cdot mathbf {v} (mathbf {x} ,t).}$ Следовательно, ${displaystyle {frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} (mathbf {x} ,t),dVight)=int _{Omega (t)}left({frac {partial mathbf {f} (mathbf {x} ,t)}{partial t}}+{ig (}{oldsymbol {abla }}mathbf {f} (mathbf {x} ,t){ig )}cdot mathbf {v} (mathbf {x} ,t)+mathbf {f} (mathbf {x} ,t),{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} (mathbf {x} ,t)ight),dV,}$ или же, ${displaystyle {frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} ,dVight)=int _{Omega (t)}left({frac {partial mathbf {f} }{partial t}}+{oldsymbol {abla }}mathbf {f} cdot mathbf {v} +mathbf {f} ,{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} ight),dV.}$ Используя личность ${displaystyle {oldsymbol {abla }}cdot (mathbf {v} otimes mathbf {w} )=mathbf {v} ({oldsymbol {abla }}cdot mathbf {w} )+{oldsymbol {abla }}mathbf {v} cdot mathbf {w} ,}$ тогда у нас есть ${displaystyle {frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} ,dVight)=int _{Omega (t)}left({frac {partial mathbf {f} }{partial t}}+{oldsymbol {abla }}cdot (mathbf {f} otimes mathbf {v} )ight),dV.}$ С использованием теорема расходимости и личность (а ⊗ б) · п = (б · п)а, у нас есть ${displaystyle {egin{aligned}{frac {d}{dt}}left(int _{Omega (t)}mathbf {f} ,dVight)&=int _{Omega (t)}{frac {partial mathbf {f} }{partial t}},dV+int _{partial Omega (t)}(mathbf {f} otimes mathbf {v} )cdot mathbf {n} ,dA&=int _{Omega (t)}{frac {partial mathbf {f} }{partial t}},dV+int _{partial Omega (t)}(mathbf {v} cdot mathbf {n} )mathbf {f} ,dA.qquad square end{aligned}}}$

Особый случай

Если мы возьмем Ω быть постоянным по времени, то v_б = 0 и идентичность сводится к

${displaystyle {frac {d}{dt}}int _{Omega }f,dV=int _{Omega }{frac {partial f}{partial t}},dV.}$

как и ожидалось. (Это упрощение невозможно, если скорость потока неправильно используется вместо скорости элемента площади.)

Интерпретация и сокращение до одного измерения

Теорема представляет собой многомерное расширение дифференцирование под знаком интеграла и в некоторых случаях сводится к этому выражению. Предполагать ж не зависит от у и z, и это Ω (т) это единичный квадрат в yz-самолет и Икс пределы а(т) и б(т). Тогда транспортная теорема Рейнольдса сводится к

${displaystyle {frac {d}{dt}}int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t),dx=int _{a(t)}^{b(t)}{frac {partial f}{partial t}},dx+{frac {partial b(t)}{partial t}}f{ig (}b(t),t{ig )}-{frac {partial a(t)}{partial t}}f{ig (}a(t),t{ig )},,}$

который, вплоть до подкачки Икс и т, - стандартное выражение для дифференцирования под знаком интеграла.

Смотрите также

• Дифференцирование под знаком интеграла
• Интегральное правило Лейбница

Примечания

1. Л. Г. Лил, 2007, стр. 23.
2. О. Рейнольдс, 1903, т. 3, стр. 12–13
3. Дж. Э. Марсден и А. Тромба, 5-е изд. 2003 г.
4. Ямагути, Х. (2008). Инженерная механика жидкостей. Дордрехт: Спрингер. п. 23. ISBN  978-1-4020-6741-9.
5. Беличко, Т.; Liu, W. K .; Моран, Б. (2000). Нелинейные конечные элементы для сплошных сред и структур.. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-98773-5.
6. Гуртин, М.Э. (1981). Введение в механику сплошной среды. Нью-Йорк: Academic Press. п. 77. ISBN  0-12-309750-9.

Рекомендации

• Leal, L.G. (2007). Продвинутые явления переноса: механика жидкости и конвективные процессы переноса. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-84910-4.
• Марсден, Дж. Э.; Тромба, А. (2003). Векторное исчисление (5-е изд.). Нью-Йорк: В. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-4992-9.
• Рейнольдс, О. (1903). Статьи по механическим и физическим предметам. Vol. 3, Суб-механика Вселенной. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

внешняя ссылка

• Осборн Рейнольдс, Сборник статей по механическим и физическим предметам, в трех томах, опубликованный около 1903 года, теперь полностью и бесплатно доступен в цифровом формате: Том 1, Том 2, Том 3,
• «Модуль 6 - Транспортная теорема Рейнольдса». ME6601: Введение в механику жидкости. Технологический институт Джорджии. Архивировано из оригинал 27 марта 2008 г.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem