Принцип ипподрома - Racetrack principle

В исчисление, то принцип беговой дорожки описывает движение и рост двух функций с точки зрения их производные.

Этот принцип основан на том факте, что если лошадь по имени Фрэнк Флитфит всегда бежит быстрее, чем лошадь по имени Грег Гузелег, то если Фрэнк и Грег начинают гонку с одного и того же места и в одно и то же время, то Фрэнк выигрывает. Короче говоря, лошадь, которая быстро стартует и остается быстрой, побеждает.

В символах:

если ${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$ для всех ${\displaystyle x>0}$, и если ${\displaystyle f(0)=g(0)}$, тогда ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ для всех ${\displaystyle x>0}$.

или, замена ≥ на> дает теорему

если ${\displaystyle f'(x)\geq g'(x)}$ для всех ${\displaystyle x>0}$, и если ${\displaystyle f(0)=g(0)}$, тогда ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ для всех ${\displaystyle x\geq 0}$.

что доказывается аналогично

Доказательство

Этот принцип можно проверить, рассмотрев функцию h (x) = f (x) - g (x). Если бы мы взяли производную, то заметили бы, что при x> 0

${\displaystyle h'=f'-g'>0.}$

Также обратите внимание, что h (0) = 0. Объединяя эти наблюдения, мы можем использовать теорема о среднем значении на отрезке [0, x] и получим

${\displaystyle h'(x_{0})={\frac {h(x)-h(0)}{x-0}}={\frac {f(x)-g(x)}{x}}>0.}$

По предположению, ${\displaystyle x>0}$, поэтому умножая обе стороны на ${\displaystyle x}$ дает f (x) - g (x)> 0. Отсюда f (x)> g (x).

Обобщения

Утверждение принципа ипподрома можно немного обобщить следующим образом;

если ${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$ для всех ${\displaystyle x>a}$, и если ${\displaystyle f(a)=g(a)}$, тогда ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ для всех ${\displaystyle x>a}$.

как и выше, замена ≥ на> дает теорему

если ${\displaystyle f'(x)\geq g'(x)}$ для всех ${\displaystyle x>a}$, и если ${\displaystyle f(a)=g(a)}$, тогда ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ для всех ${\displaystyle x>a}$.

Доказательство

Это обобщение может быть доказано из принципа ипподрома следующим образом:

Рассмотрим функции ${\displaystyle f_{2}(x)=f(x-a)}$ и ${\displaystyle g_{2}(x)=g(x-a)}$.При условии ${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$ для всех ${\displaystyle x>a}$, и ${\displaystyle f(a)=g(a)}$,

${\displaystyle f_{2}'(x)>g_{2}'(x)}$ для всех ${\displaystyle x>0}$, и ${\displaystyle f_{2}(0)=g_{2}(0)}$, что согласно приведенному выше доказательству принципа ипподрома означает ${\displaystyle f_{2}(x)>g_{2}(x)}$ для всех ${\displaystyle x>0}$ так ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ для всех ${\displaystyle x>a}$.

Заявление

Принцип ипподрома можно использовать, чтобы доказать лемма необходимо показать, что экспоненциальная функция растет быстрее, чем любая степенная функция. Требуемая лемма состоит в том, что

${\displaystyle e^{x}>x}$

для всех реальных x. Это очевидно для x <0, но принцип ипподрома требуется для x> 0. Чтобы увидеть, как он используется, мы рассмотрим функции

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

и

${\displaystyle g(x)=x+1.}$

Обратите внимание, что f (0) = g (0) и что

${\displaystyle e^{x}>1}$

потому что экспоненциальная функция всегда возрастает (монотонный ) так ${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$. Таким образом, по принципу ипподрома f (x)> g (x). Таким образом,

${\displaystyle e^{x}>x+1>x}$

для всех x> 0.

Рекомендации

• Дебора Хьюз-Халлет и др., Исчисление.