Теорема квистса - Qvists theorem

Теорема Квиста о конечных овалах

В проективная геометрия Теорема квиста, названный в честь финского математика Бертил Квист, это заявление о овалы в конечный проективные плоскости. Стандартные примеры овалов невырождены (проективные) конические сечения. Теорема дает ответ на вопрос Сколько касательных к овалу может пройти через точку конечной проективной плоскости? Ответ существенно зависит от порядок (количество точек на прямой −1) плоскости.

Определение овала

Основная статья: Овал (проективная плоскость)

• В проективная плоскость множество Ω точек называется овал, если:

1. Любая линия л встречает Ω не более чем в двух точках, и
2. Для любой точки п ∈ Ω существует ровно одна касательная линия т через п, т.е. т ∩ Ω = {п}.

Когда |л ∩ Ω | = 0 линия л является внешняя линия (или же проходной),^[1] если |л ∩ Ω| = 1 а касательная линия и если |л ∩ Ω| = 2 линия секущая линия.

За конечный плоскостей (т.е. множество точек конечно) мы имеем более удобную характеристику:^[2]

• Для конечной проективной плоскости порядок п (т.е. любая строка содержит п + 1 баллов) набор Ω точек является овалом тогда и только тогда, когда |Ω| = п + 1 и нет трех точек коллинеарен (по общей линии).

Формулировка и доказательство теоремы Квиста

Теорема квиста^[3][4]

Позволять Ω - овал в конечной проективной плоскости порядка п.

а) Если п является странный,

каждая точка п ∉ Ω инцидентно 0 или 2 касательным.

(б) Если п является четное,

есть точка N, то ядро или же морской узел, такие, что множество касательных к овалу Ω карандаш всех линий через N.

Теорема Квиста: к доказательству в случае нечетного n

Теорема Квиста: к доказательству в случае четных n

Доказательство

(а) Пусть т_р быть касательной к Ω в точке р и разреши п₁, ... , п_п - оставшиеся точки этой линии. Для каждого я, линии через п_я раздел Ω в наборы мощности 2, 1 или 0. Поскольку число |Ω| = п + 1 ровно для любой точки п_я, должна существовать еще хотя бы одна касательная, проходящая через эту точку. Общее количество касательных составляет п + 1, следовательно, через каждую п_я, т_р и еще один. Таким образом, для любой точки п не в овале Ω, если п находится на любой касательной к Ω это ровно на двух касательных.

(б) Пусть s быть секущей, s ∩ Ω = {п₀, п₁} и s= {п₀, п₁,...,п_п}. Потому что |Ω| = п + 1 странно, через любые п_я, i = 2, ..., n, проходит хотя бы одна касательная т_я. Общее количество касательных составляет п + 1. Следовательно, через любую точку п_я за я = 2, ...,п есть ровно одна касательная. Если N точка пересечения двух касательных, секущая не может проходить через N. Потому что п + 1, количество касательных, это также количество прямых, проходящих через любую точку, любую прямую, проходящую через N является касательной.

Пример в папповой плоскости четного порядка

С помощью неоднородные координаты над полем K, |K| = п даже набор

Ω₁ = {(х, у) | у = Икс²} ∪ {(∞)},

проективное замыкание параболы у = Икс², представляет собой овал с острием N = (0) как ядро ​​(см. изображение), т.е. любая линия у = c, с c ∈ K, является касательной.

Определение и свойство гиперовалов

• Любой овал Ω в конечный проективная плоскость четное порядок п имеет ядро N.

Набор точек Ω : = Ω ∪ {N} называется гиперовал или же (п + 2)-дуга. (Конечный овал - это (п + 1)-дуга.)

Несложно проверить следующее существенное свойство гиперовала:

• Для гиперовала Ω и точка р ∈ Ω набор точек Ω \ {р} - овал.

проективное коническое сечение Ω₁

Это свойство обеспечивает простой способ построения дополнительных овалов из заданного овала.

Пример

Для проективной плоскости над конечным полем K, |K| = п даже и п > 4, набор

Ω₁ = {(х, у) | у = Икс²} ∪ {(∞)} - овал (коническое сечение) (см. изображение),

Ω₁ = {(х, у) | у = Икс²} ∪ {(0), (∞)} является гиперовалом и

Ω₂ = {(х, у) | у = Икс²} ∪ {(0)} - еще один овал, не являющийся коническим сечением. (Напомним, что коническое сечение однозначно определяется 5 точками.)

Примечания

1. В английской литературе этот термин обычно переводится на французский (или немецкий) язык, а не переводится как проходная строка.
2. Дембовский 1968, п. 147
3. Бертил Квист: Некоторые замечания о кривых второй степени на конечной плоскости, Хельсинки (1952), Ann. Акад. Sci Fenn Nr. 134, 1–27
4. Дембовский 1968, стр. 147–8

Рекомендации

• Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / от основ к приложениям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-48364-3
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, МИСТЕР  0233275

внешняя ссылка

• Э. Хартманн: Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. Скрипт, TH Дармштадт (PDF; 891 kB), стр. 40.