Закон Порода - Porods law

В рентгеновском или нейтронном малоугловое рассеяние (SAS), Закон Порода, обнаруженный Гюнтер Пород, описывает асимптоту интенсивности рассеяния Я (q) для большого рассеяния волновые числа q.

Контекст

Закон Порода касается волновых чисел q которые малы по сравнению с масштабами обычных Брэгговская дифракция; обычно ${\displaystyle q\lesssim 1{\text{ nm}}^{-1}}$. В этом диапазоне образец не должен описываться на атомистическом уровне; лучше использовать континуальное описание в терминах электронной плотности или плотности длины рассеяния нейтронов. В системе, состоящей из различных мезоскопический частиц, все малоугловое рассеяние можно понимать как происходящее от поверхностей или границ раздела. Обычно SAS измеряется для обнаружения корреляций между различными интерфейсами и, в частности, между удаленными сегментами поверхности одной и той же частицы. Это позволяет делать выводы о размере и форме частиц и их корреляции.

Порода qтем не менее, относительно большой в обычном масштабе SAS. В этом режиме корреляции между удаленными участками поверхности и межчастичными корреляциями настолько случайны, что усредняются. Следовательно, виден только локальный интерфейс. грубость.

Стандартная форма

Если граница раздела плоская, то закон Порода предсказывает интенсивность рассеяния

${\displaystyle I(q)\sim Sq^{-4}}$

куда S - площадь поверхности частиц, которую можно таким образом определить экспериментально. Степенной закон q⁻⁴ соответствует коэффициенту 1 / sin⁴θ в Уравнения Френеля отражения.^{[примечание 1]}

Обобщенная форма

С появлением фрактал математике стало ясно, что закон Порода требует адаптации для грубых интерфейсов, потому что значение поверхности S может быть функцией q (мерка, по которой это измеряется). В случае фрактально шероховатой поверхности область с размерностью d между 2–3 по закону Порода принимает вид:

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow \infty }I(q)\propto S'q^{-(6-d)}}$

Таким образом, если построить логарифмический график, наклон ln (I) по сравнению с ln (q) будет варьироваться от -4 до -3 для такого поверхностный фрактал. Наклоны менее отрицательные, чем -3, также возможны в теории фракталов, и они описываются с помощью объемный фрактал модель, в которой вся система может быть описана как самоподобная математически, хотя обычно не в действительности в природе.

Вывод

как асимптота форм-фактора

Для конкретной модельной системы, например дисперсия некоррелированных сферических частиц, можно вывести закон Порода, вычислив функцию рассеяния S (q) точно, усредняя по немного разным радиусам частиц и принимая предел ${\displaystyle q\to \infty }$.

рассматривая только интерфейс

В качестве альтернативы можно выразить S (q) как двойной поверхностный интеграл, используя Теорема Остроградского. Для плоской поверхности в плоскости xy получаем^{[заметка 2]}

${\displaystyle S({\vec {q}})={\frac {4\pi ^{2}}{q_{z}^{2}}}\delta (q_{x})\delta (q_{y}).}$

Сферическое среднее по возможным направлениям вектора q, закон Порода получается в виде^{[заметка 3]}

${\displaystyle S(q)={\frac {2\pi }{q^{4}}}.}$

Примечания

1. На это указали Sinha et al.^[1]
2. Sinha et al., Уравнение. (2.12).^[1]
3. Sinha et al., Уравнение. (3.3)^[1]

Рекомендации

1. Sinha, S.K .; Sirota, E.B .; Garoff, S .; Стэнли, Х. Б. (1988-08-01). «Рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов на шероховатых поверхностях». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 38 (4): 2297–2311. Дои:10.1103 / Physrevb.38.2297. ISSN  0163-1829.