Остаток от деления многочлена f (x) на (x-r) равен f (r)
«Теорема Маленького Безу» перенаправляется сюда. О количестве точек пересечения двух алгебраических кривых см.
Теорема Безу. Относительно отношения между двумя числами и их наибольшим общим делителем см.
Личность Безу.
В алгебра, то теорема о полиномиальном остатке или же маленькая теорема Безу (названный в честь Этьен Безу )[1] это приложение Евклидово деление многочленов. В нем говорится, что остаток от деления многочлен
по линейный полином
равно
Особенно,
это делитель из
если и только если
[2] свойство, известное как факторная теорема.
Примеры
Пример 1
Позволять
. Полиномиальное деление
к
дает частное
а остальное
. Следовательно,
.
Пример 2
Покажите, что теорема о полиномиальном остатке верна для произвольного полинома второй степени
с помощью алгебраических манипуляций:

Умножая обе стороны на (Икс − р) дает
.
С
остаток, мы действительно показали, что
.
Доказательство
Теорема о полиномиальном остатке следует из теоремы Евклидово деление, который, учитывая два полинома ж(Икс) (дивиденд) и грамм(Икс) (делитель), утверждает существование (и единственность) частного Q(Икс) и остаток р(Икс) такой, что

Если делитель
где r - постоянная, то либо р(Икс) = 0 или его степень нулевая; в обоих случаях, р(Икс) постоянная, не зависящая от Икс; то есть

Параметр
в этой формуле получаем:

Несколько иное доказательство, которое некоторым может показаться более элементарным, начинается с наблюдения, что
это линейная комбинация условий формы
каждый из которых делится на
поскольку 
Приложения
Теорема полиномиального остатка может использоваться для вычисления
вычисляя остаток,
. Несмотря на то что полиномиальное деление в столбик труднее, чем оценить функция сам, синтетическое подразделение вычислительно проще. Таким образом, функция может быть «дешевле» вычислена с использованием синтетического деления и теоремы о полиномиальном остатке.
В факторная теорема - еще одно приложение теоремы об остатке: если остаток равен нулю, то линейный делитель является множителем. Повторное применение теоремы о факторах может быть использовано для факторизации многочлена.[3]
Рекомендации
- ^ Петр Рудницкий (2004). "Маленькая теорема Безу (факторная теорема)" (PDF). Формализованная математика. 12 (1): 49–58.
- ^ Ларсон, Рон (2014), колледж алгебры, Cengage Learning
- ^ Ларсон, Рон (2011), Precalculus с ограничениями, Cengage Learning