Теорема о полиномиальном остатке - Polynomial remainder theorem

В алгебра, то теорема о полиномиальном остатке или же маленькая теорема Безу (названный в честь Этьен Безу )^[1] это приложение Евклидово деление многочленов. В нем говорится, что остаток от деления многочлен ${ displaystyle f (x)}$ по линейный полином ${ displaystyle x-r}$ равно ${ displaystyle f (r).}$ Особенно, ${ displaystyle x-r}$ это делитель из ${ displaystyle f (x)}$ если и только если ${ displaystyle f (r) = 0,}$ ^[2] свойство, известное как факторная теорема.

Примеры

Пример 1

Позволять ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} -12x ^ {2} -42}$ . Полиномиальное деление ${ displaystyle f (x)}$ к ${ Displaystyle (х-3)}$ дает частное ${ displaystyle x ^ {2} -9x-27}$ а остальное ${ displaystyle -123}$ . Следовательно, ${ Displaystyle f (3) = - 123}$ .

Пример 2

Покажите, что теорема о полиномиальном остатке верна для произвольного полинома второй степени ${ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ с помощью алгебраических манипуляций:

{ displaystyle { begin {align} { frac {f (x)} {xr}} & = { frac {a {x ^ {2}} + bx + c} {xr}} & = { frac {a {x ^ {2}} - arx + arx + bx + c} {xr}} & = { frac {ax (xr) + (b + ar) x + c} {xr}} & = ax + { frac {(b + ar) (xr) + c + r (b + ar)} {xr}} & = ax + b + ar + { frac {c + r (b + ar)} {xr}} & = ax + b + ar + { frac {a {r ^ {2}} + br + c} {xr}} end {align}}}

Умножая обе стороны на (Икс − р) дает

{ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c = (ax + b + ar) (x-r) + {a {r ^ {2}} + br + c}}

.

С ${ displaystyle R = ar ^ {2} + br + c}$ остаток, мы действительно показали, что ${ Displaystyle f (r) = R}$ .

Доказательство

Теорема о полиномиальном остатке следует из теоремы Евклидово деление, который, учитывая два полинома $ж (Икс)$ (дивиденд) и $грамм (Икс)$ (делитель), утверждает существование (и единственность) частного $Q (Икс)$ и остаток $р (Икс)$ такой, что

{ Displaystyle f (x) = Q (x) g (x) + R (x) quad { text {and}} quad R (x) = 0 { text {или}} deg (R ) < deg (g).}

Если делитель ${ Displaystyle г (х) = х-р,}$ где r - постоянная, то либо $р (Икс) = 0$ или его степень нулевая; в обоих случаях, $р (Икс)$ постоянная, не зависящая от $Икс$ ; то есть

{ Displaystyle f (x) = Q (x) (x-r) + R.}

Параметр ${ displaystyle x = r}$ в этой формуле получаем:

{ Displaystyle f (r) = R.}

Несколько иное доказательство, которое некоторым может показаться более элементарным, начинается с наблюдения, что ${ Displaystyle f (x) -f (r)}$ это линейная комбинация условий формы ${ displaystyle x ^ {k} -r ^ {k},}$ каждый из которых делится на ${ displaystyle x-r}$ поскольку ${ displaystyle x ^ {k} -r ^ {k} = (xr) (x ^ {k-1} + x ^ {k-2} r + dots + xr ^ {k-2} + r ^ {k -1}).}$

Приложения

Теорема полиномиального остатка может использоваться для вычисления ${ displaystyle f (r)}$ вычисляя остаток, ${ displaystyle R}$ . Несмотря на то что полиномиальное деление в столбик труднее, чем оценить функция сам, синтетическое подразделение вычислительно проще. Таким образом, функция может быть «дешевле» вычислена с использованием синтетического деления и теоремы о полиномиальном остатке.

В факторная теорема - еще одно приложение теоремы об остатке: если остаток равен нулю, то линейный делитель является множителем. Повторное применение теоремы о факторах может быть использовано для факторизации многочлена.^[3]