Полиномиальная лемниската - Polynomial lemniscate

${displaystyle |z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+}$ ${displaystyle z^{2}+z+1|=1}$

В математике полиномиальная лемниската или же полиномиальная кривая уровня это плоская алгебраическая кривая степени 2n, построенный по многочлену п с комплексными коэффициентами степени п.

Для любого такого многочлена п и положительное действительное число c, мы можем определить набор комплексных чисел как ${displaystyle |p(z)|=c.}$ Этот набор чисел может быть приравнен к точкам на реальной декартовой плоскости, что приводит к алгебраической кривой ƒ(Икс, у) = c² степени 2п, который возникает в результате расширения ${displaystyle p(z){ar {p}}({ar {z}})}$ с точки зрения z = Икс + иу.

Когда п является многочленом степени 1, то полученная кривая представляет собой просто окружность, центр которой является нулем п. Когда п является многочленом степени 2, то кривая является Кассини овал.

Лемниската Эрдеша

Лемниската Эрдеша десятой степени и шестой род

Гипотеза Erds вызвавшее значительный интерес, касается максимальной длины полиномиальной лемнискаты ƒ(Икс, у) = 1 степени 2п когда п является моник, которое, как предположил Эрдеш, было достигнуто, когда п(z) = z^п - 1. Это еще не доказано, но Фрынтов и Назаров доказал, что п дает локальный максимум.^[1] В случае, когда п = 2, лемниската Эрдеша является Лемниската Бернулли

${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2}),}$

и было доказано, что это действительно максимальная длина в четвертой степени. У лемнискаты Эрдеша три обычных пточки складывания, одна из которых находится в начале координат, и род из (п − 1)(п - 2) / 2. К инвертирование лемнискате Эрдеша в единичной окружности, получается неособая кривая степенип.

Общая полиномиальная лемниската

В общем, полиномиальная лемниската не будет касаться начала координат и будет иметь только два обычных п-кратные особенности и, следовательно, род (п − 1)². Как реальная кривая, она может иметь ряд отключенных компонентов. Следовательно, это не будет похоже на лемниската, из-за чего название звучит неправильно.

Кривая Мандельброта M₂ степени восемь и рода девять

Интересным примером таких полиномиальных лемнискат являются кривые Мандельброта. п₀ = z, и п_п = п_п−1² + z, то соответствующие полиномиальные лемнискаты M_п определяется |п_п(z) | = 2 сходятся к границе Набор Мандельброта Кривые Мандельброта имеют степень 2.^{п + 1}.^[2]

Примечания

1. Фрынтов А; Назаров, Ф (2008). «Новые оценки длины лемнискаты Эрдоша-Герцога-Пирана». Линейный и комплексный анализ. 226: 49–60. arXiv:0808.0717. Bibcode:2008arXiv0808.0717F.
2. Иванчевич, Владимир Г .; Иванчевич, Тихана Т. (2007), Многомерные хаотические и аттракторные системы: всестороннее введение, Springer, стр. 492, г. ISBN  9781402054563.

Рекомендации

• Александр Еременко и Уолтер Хейман, О длине лемнискат, Michigan Math. J., (1999), 46, нет. 2, 409–415 [1]
• Кузнецова О.С., Ткачев В.Г., Функции длины лемнискат, Manuscripta Math., (2003), 112, 519–538 [2]