Полиномиальное распределение Вигнера – Вилля - Polynomial Wigner–Ville distribution

При обработке сигналов полиномиальное распределение Вигнера – Вилля это распределение квазивероятностей это обобщает Функция распределения Вигнера. Его предложили Буалем Боашаш и Питер О'Ши в 1994 году.

Вступление

Многие сигналы в природе и в инженерных приложениях можно смоделировать как ${ Displaystyle г (т) = е ^ {J2 пи фи (т)}}$ , куда ${ Displaystyle phi (т)}$ - полиномиальная фаза и ${ displaystyle j = { sqrt {-1}}}$ .

Например, важно обнаруживать сигналы произвольной полиномиальной фазы высокого порядка. Однако обычное распределение Вигнера – Вилля имеет ограничение, основанное на статистике второго порядка. Следовательно, полиномиальное распределение Вигнера – Вилля было предложено как обобщенная форма обычного распределения Вигнера – Вилля, которое может работать с сигналами с нелинейной фазой.

Определение

Полиномиальное распределение Вигнера – Вилля. ${ Displaystyle W_ {z} ^ {g} (т, е)}$ определяется как

{ Displaystyle W_ {z} ^ {g} (t, f) = { mathcal {F}} _ { tau to f} left [K_ {z} ^ {g} (t, tau) верно]}

куда ${ displaystyle { mathcal {F}} _ { tau to f}}$ обозначает преобразование Фурье относительно ${ Displaystyle тау}$ , и ${ Displaystyle К_ {z} ^ {g} (т, тау)}$ - ядро полинома, задаваемое формулой

{ displaystyle K_ {z} ^ {g} (t, tau) = prod _ {k = - { frac {q} {2}}} ^ { frac {q} {2}} left [ z left (t + c_ {k} tau right) right] ^ {b_ {k}}}

куда ${ Displaystyle г (т)}$ входной сигнал и ${ displaystyle q}$ - четное число. Вышеупомянутое выражение для ядра можно переписать в симметричной форме как

{ displaystyle K_ {z} ^ {g} (t, tau) = prod _ {k = 0} ^ { frac {q} {2}} left [z left (t + c_ {k}) tau right) right] ^ {b_ {k}} left [z ^ {*} left (t + c _ {- k} tau right) right] ^ {- b _ {- k}} }

Дискретная версия полиномиального распределения Вигнера – Вилля дается формулой дискретное преобразование Фурье из

{ displaystyle K_ {z} ^ {g} (n, m) = prod _ {k = 0} ^ { frac {q} {2}} left [z left (n + c_ {k} m right) right] ^ {b_ {k}} left [z ^ {*} left (n + c _ {- k} m right) right] ^ {- b _ {- k}}}

куда ${ displaystyle n = t {f} _ {s}, m = { tau} {f} _ {s},}$ и ${ displaystyle f_ {s}}$ - частота дискретизации. Распределение Вигнера – Вилля является частным случаем полиномиального распределения Вигнера – Вилля с ${ displaystyle q = 2, b _ {- 1} = - 1, b_ {1} = 1, b_ {0} = 0, c _ {- 1} = - { frac {1} {2}}, c_ { 0} = 0, c_ {1} = { frac {1} {2}}}$

Пример

Одно из простейших обобщений обычного ядра распределения Вигнера – Вилля может быть получено, если взять ${ displaystyle q = 4}$ . Набор коэффициентов ${ displaystyle b_ {k}}$ и ${ displaystyle c_ {k}}$ необходимо найти, чтобы полностью указать новое ядро. Например, мы устанавливаем

{ displaystyle b_ {1} = - b _ {- 1} = 2, b_ {2} = b _ {- 2} = 1, b_ {0} = 0}

{ displaystyle c_ {1} = - c _ {- 1} = 0,675, c_ {2} = - c _ {- 2} = - 0,85}

Результирующее ядро с дискретным временем тогда дается выражением

{ displaystyle K_ {z} ^ {g} (n, m) = left [z left (n + 0,675m right) z ^ {*} left (n-0,675m right) right] ^ {2} z ^ {*} left (n + 0,85m right) z left (n-0,85m right)}

Дизайн практического полиномиального ядра

Учитывая сигнал ${ Displaystyle г (т) = е ^ {J2 пи фи (т)}}$ , куда ${ Displaystyle фи (т) = сумма _ {я = 0} ^ {р} а_ {я} т ^ {я}}$ является полиномиальной функцией, его мгновенная частота (IF) равна ${ displaystyle phi '(t) = sum _ {i = 1} ^ {p} ia_ {i} t ^ {i-1}}$ .

Для практического полиномиального ядра ${ Displaystyle К_ {z} ^ {g} (т, тау)}$ , набор коэффициентов ${ displaystyle q, b_ {k}}$ и ${ displaystyle c_ {k}}$ должен быть выбран правильно так, чтобы

{ Displaystyle { begin {align} K_ {z} ^ {g} (t, tau) & = prod _ {k = 0} ^ { frac {q} {2}} left [z left (t + c_ {k} tau right) right] ^ {b_ {k}} left [z ^ {*} left (t + c _ {- k} tau right) right] ^ { -b _ {- k}} & = exp (j2 pi sum _ {i = 1} ^ {p} ia_ {i} t ^ {i-1} tau) end {выравнивается}}}

{ displaystyle { begin {align} W_ {z} ^ {g} (t, f) & = int _ {- infty} ^ { infty} exp (-j2 pi (f- sum _ {i = 1} ^ {p} ia_ {i} t ^ {i-1}) tau) d tau & cong delta (f- sum _ {i = 1} ^ {p} ia_ {я} т ^ {я-1}) конец {выровнено}}}

Когда ${ displaystyle q = 2, b _ {- 1} = - 1, b_ {0} = 0, b_ {1} = 1, p = 2}$ ,

{ displaystyle z left (t + c_ {1} tau right) z ^ {*} left (t + c _ {- 1} tau right) = exp (j2 pi sum _ {i = 1} ^ {2} ia_ {i} t ^ {i-1} tau)}

{ displaystyle a_ {2} (t + c_ {1}) ^ {2} + a_ {1} (t + c_ {1}) - a_ {2} (t + c _ {- 1}) ^ {2} -a_ {1} (t + c _ {- 1}) = 2a_ {2} t tau + a_ {1} tau}

{ displaystyle Rightarrow c_ {1} -c _ {- 1} = 1, c_ {1} + c _ {- 1} = 0}

{ displaystyle Rightarrow c_ {1} = { frac {1} {2}}, c _ {- 1} = - { frac {1} {2}}}

Когда ${ displaystyle q = 4, b _ {- 2} = b _ {- 1} = - 1, b_ {0} = 0, b_ {2} = b_ {1} = 1, p = 3}$

{ displaystyle { begin {align} & a_ {3} (t + c_ {1}) ^ {3} + a_ {2} (t + c_ {1}) ^ {2} + a_ {1} (t + c_ {1}) & a_ {3} (t + c_ {2}) ^ {3} + a_ {2} (t + c_ {2}) ^ {2} + a_ {1} (t + c_ { 2}) & - a_ {3} (t + c _ {- 1}) ^ {3} -a_ {2} (t + c _ {- 1}) ^ {2} -a_ {1} (t + c _ {- 1}) & - a_ {3} (t + c _ {- 2}) ^ {3} -a_ {2} (t + c _ {- 2}) ^ {2} -a_ {1} (t + c _ {- 2}) & = 3a_ {3} t ^ {2} tau + 2a_ {2} t tau + a_ {1} tau end {align}}}

{ displaystyle Rightarrow { begin {cases} c_ {1} + c_ {2} -c _ {- 1} -c _ {- 2} = 1 c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} -c _ {- 1} ^ {2} -c _ {- 2} ^ {2} = 0 c_ {1} ^ {3} + c_ {2} ^ {3} -c _ {- 1} ^ {3} -c _ {- 2} ^ {3} = 0 end {case}}}

Приложения

Нелинейные ЧМ-сигналы распространены как в природе, так и в инженерных приложениях. Например, гидролокаторы некоторых летучих мышей используют гиперболические ЧМ и квадратичные ЧМ сигналы для определения местоположения эха. В радарах некоторые схемы сжатия импульсов используют линейные ЧМ и квадратичные сигналы. В Распределение Вигнера – Вилля имеет оптимальную концентрацию в частотно-временной плоскости для линейных частотно-модулированный сигналы. Однако для нелинейных сигналов с частотной модуляцией оптимальная концентрация не достигается, и в результате получаются размытые спектральные представления. Полиномиальное распределение Вигнера – Вилля может быть разработано для решения такой проблемы.