Плоское напряжение - Plane stress

Рисунок 7.1 Плоское напряженное состояние в сплошной среде.

В механика сплошной среды, материал считается находящимся под плоское напряжение если вектор напряжения равен нулю в определенной плоскости. Когда такая ситуация возникает по всему элементу конструкции, как это часто бывает с тонкими пластинами, анализ напряжения значительно упрощается, так как напряженное состояние можно представить в виде тензор размерности 2 (представляемой в виде матрицы 2 × 2, а не 3 × 3). ^[1] Связанное понятие, плоская деформация, часто применяется к очень толстым элементам.

Плоское напряжение обычно возникает в тонких плоских пластинах, на которые действуют только силы нагрузки, параллельные им. В определенных ситуациях можно также предположить, что слегка изогнутая тонкая пластина имеет плоское напряжение для целей анализа напряжения. Это случай, например, тонкостенного цилиндра, заполненного жидкостью под давлением. В таких случаях компоненты напряжения, перпендикулярные пластине, пренебрежимо малы по сравнению с компонентами, параллельными ей.^[1]

В других случаях, однако, нельзя пренебрегать изгибающим напряжением тонкой пластины. Можно по-прежнему упростить анализ, используя двумерную область, но тензор плоских напряжений в каждой точке должен быть дополнен членами изгиба.

Математическое определение

Математически напряжение в некоторой точке материала является плоским напряжением, если одно из трех основные напряжения (в собственные значения из Тензор напряжений Коши ) равен нулю. То есть есть Декартова система координат в котором тензор напряжений имеет вид

{displaystyle sigma = {egin {bmatrix} sigma _ {11} & 0 & 0 0 & sigma _ {22} & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix}} экв {egin {bmatrix} sigma _ {x} & 0 & 0 0 & sigma _ {y} & 0 0 & 0 & 0end { bmatrix}}}

Например, рассмотрим прямоугольный блок из материала размером 10, 40 и 5 см вдоль ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ , и ${displaystyle z}$ , который растягивается в ${displaystyle x}$ направление и сжатый в ${displaystyle y}$ направлением, парами противоположных сил с величинами 10 N и 20 Н соответственно, равномерно распределенные по соответствующим граням. Тензор напряжений внутри блока будет

{displaystyle sigma = {egin {bmatrix} 500mathrm {Pa} & 0 & 0 0 & -4000mathrm {Pa} & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix}}}

В более общем смысле, если выбрать первые две оси координат произвольно, но перпендикулярно направлению нулевого напряжения, тензор напряжений будет иметь вид

{displaystyle sigma = {egin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} & 0 sigma _ {21} & sigma _ {22} & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix}} Equiv {egin {bmatrix} sigma _ {x} & au _ {xy} & 0 au _ {yx} & sigma _ {y} & 0 0 & 0 & 0end {bmatrix}}}

и поэтому может быть представлен матрицей 2 × 2,

{displaystyle sigma _ {ij} = {egin {bmatrix} sigma _ {11} & sigma _ {12} sigma _ {21} & sigma _ {22} end {bmatrix}} Equiv {egin {bmatrix} sigma _ {x} & au _ {xy} au _ {yx} & sigma _ {y} end {bmatrix}}}

Материальные уравнения

Видеть Закон Гука # Plane_stress

Плоское напряжение на криволинейных поверхностях

В некоторых случаях модель плоского напряжения может использоваться при анализе слегка изогнутых поверхностей. Например, рассмотрим тонкостенный цилиндр, на который действует осевая сжимающая нагрузка, равномерно распределенная по его ободу, и заполненный жидкостью под давлением. Внутреннее давление вызовет реактивную растягивающая нагрузка центробежного происхождения на стенку действует нормальное растягивающее напряжение, направленное перпендикулярно оси цилиндра и касательное к его поверхности. Цилиндр можно концептуально развернуть и проанализировать как плоскую тонкую прямоугольную пластину, подверженную растягивающей нагрузке в одном направлении и сжимающей нагрузке в другом, другом направлении, причем обе параллельны пластине.

Плоская деформация (матрица деформации)

Рис. 7.2 Плоское деформированное состояние в сплошной среде.

Если одно измерение очень велико по сравнению с другими, основное напряжение в направлении наибольшего размера ограничивается и может приниматься равным нулю, что дает условие плоской деформации (рис. 7.2). В этом случае, хотя все главные напряжения не равны нулю, главное напряжение в направлении наибольшего измерения можно не учитывать при расчетах. Таким образом, позволяя проводить двумерный анализ напряжений, например а плотина проанализированы в поперечном сечении, нагруженном резервуаром.

Соответствующий тензор деформации:

{displaystyle varepsilon _ {ij} = {egin {bmatrix} varepsilon _ {11} & varepsilon _ {12} & 0 varepsilon _ {21} & varepsilon _ {22} & 0 0 & 0 & varepsilon _ {33} end {bmatrix}} ,!}

в котором ненулевой ${displaystyle varepsilon _ {33} ,!}$ термин возникает из Эффект Пуассона. Этот член деформации может быть временно удален из анализа напряжения, чтобы оставить только элементы в плоскости, эффективно сокращая анализ до двух измерений.^[1]

Преобразование напряжения в плоское напряжение и плоскую деформацию

Рассмотрим точку ${displaystyle P ,!}$ в континууме в состоянии плоского напряжения или плоской деформации с компонентами напряжения ${displaystyle (sigma _ {x}, sigma _ {y}, au _ {xy}) ,!}$ а все остальные составляющие напряжения равны нулю (рисунок 8.1). Из статического равновесия бесконечно малого материального элемента при ${displaystyle P ,!}$ (Рисунок 8.2), нормальное напряжение ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ и напряжение сдвига ${displaystyle au _ {mathrm {n}} ,!}$ на любой плоскости, перпендикулярной ${displaystyle x ,!}$ - ${displaystyle y ,!}$ самолет, проходящий через ${displaystyle P ,!}$ с единичным вектором ${displaystyle mathbf {n},!}$ делая угол ${displaystyle heta,!}$ с горизонталью, т.е. ${displaystyle cos heta,!}$ является направляющим косинусом в ${displaystyle x ,!}$ направление задается:

{displaystyle sigma _ {mathrm {n}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) + {frac {1} {2}} (sigma _ {x} - sigma _ {y}) cos 2 heta + au _ {xy} sin 2 heta,!}

{displaystyle au _ {mathrm {n}} = - {frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) sin 2 heta + au _ {xy} cos 2 heta,!}

Эти уравнения показывают, что в условиях плоского напряжения или плоской деформации можно определить компоненты напряжения в точке во всех направлениях, т.е. как функцию от ${displaystyle heta,!}$ , если известны компоненты напряжения ${displaystyle (sigma _ {x}, sigma _ {y}, au _ {xy}) ,!}$ в любых двух перпендикулярных направлениях в этой точке. Важно помнить, что мы рассматриваем единицу площади бесконечно малого элемента в направлении, параллельном ${displaystyle y ,!}$ - ${displaystyle z ,!}$ самолет.

Рисунок 8.1 - Преобразование напряжения в точке сплошной среды в условиях плоского напряжения.

Рисунок 8.2 - Компоненты напряжения в плоскости, проходящей через точку континуума в условиях плоского напряжения.

Основные направления (рисунок 8.3), т. Е. Ориентация плоскостей, в которых компоненты напряжения сдвига равны нулю, могут быть получены путем составления предыдущего уравнения для напряжения сдвига ${displaystyle au _ {mathrm {n}} ,!}$ равно нулю. Таким образом, мы имеем:

{displaystyle au _ {mathrm {n}} = - {frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) sin 2 heta + au _ {xy} cos 2 heta = 0 ,! }

и получаем

{displaystyle an 2 heta _ {mathrm {p}} = {frac {2 au _ {xy}} {sigma _ {x} -sigma _ {y}}} ,!}

Это уравнение определяет два значения ${displaystyle heta _ {mathrm {p}} ,!}$ которые ${displaystyle 90 ^ {circ} ,!}$ врозь (рисунок 8.3). Тот же результат можно получить, найдя угол ${displaystyle heta,!}$ что делает нормальный стресс ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ максимум, т.е. ${displaystyle {frac {dsigma _ {mathrm {n}}} {d heta}} = 0 ,!}$

Основные стрессы ${displaystyle sigma _ {1} ,!}$ и ${displaystyle sigma _ {2} ,!}$ , или минимальные и максимальные нормальные напряжения ${displaystyle sigma _ {mathrm {max}} ,!}$ и ${displaystyle sigma _ {mathrm {min}} ,!}$ соответственно, могут быть получены заменой обоих значений ${displaystyle heta _ {mathrm {p}} ,!}$ в предыдущее уравнение для ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ . Этого можно добиться, переписав уравнения для ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ и ${displaystyle au _ {mathrm {n}} ,!}$ , сначала транспонируя первый член в первом уравнении и возводя в квадрат обе части каждого уравнения, а затем складывая их. Таким образом, мы имеем

{displaystyle left [sigma _ {mathrm {n}} - {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {mathrm {n}} ^ {2} = left [{frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {xy} ^ {2} ,!}

{displaystyle (sigma _ {mathrm {n}} -sigma _ {mathrm {avg}}) ^ {2} + au _ {mathrm {n}} ^ {2} = R ^ {2} ,!}

куда

{displaystyle R = {sqrt {left [{frac {1} {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {xy} ^ {2}}} quad {ext {и}} quad sigma _ {mathrm {avg}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) ,!}

что является уравнением окружности радиуса ${displaystyle R ,!}$ с центром в точке с координатами ${displaystyle [sigma _ {mathrm {avg}}, 0] ,!}$ , называется Круг Мора. Но зная, что для главных напряжений напряжение сдвига ${displaystyle au _ {mathrm {n}} = 0 ,!}$ , то из этого уравнения получаем:

{displaystyle sigma _ {1} = sigma _ {mathrm {max}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) + {sqrt {left [{frac {1}] {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {xy} ^ {2}}} ,!}

{displaystyle sigma _ {2} = sigma _ {mathrm {min}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {x} + sigma _ {y}) - {sqrt {left [{frac {1}] {2}} (sigma _ {x} -sigma _ {y}) ight] ^ {2} + au _ {xy} ^ {2}}} ,!}

Рисунок 8.3 - Преобразование напряжений в двух измерениях, показывающие плоскости действия главных напряжений, а также максимальные и минимальные касательные напряжения.

Когда ${displaystyle au _ {xy} = 0 ,!}$ бесконечно малый элемент ориентирован в направлении главных плоскостей, поэтому напряжения, действующие на прямоугольный элемент, являются главными напряжениями: ${displaystyle sigma _ {x} = sigma _ {1} ,!}$ и ${displaystyle sigma _ {y} = sigma _ {2} ,!}$ . Тогда нормальный стресс ${displaystyle sigma _ {mathrm {n}} ,!}$ и напряжение сдвига ${displaystyle au _ {mathrm {n}} ,!}$ в зависимости от главных напряжений можно определить, сделав ${displaystyle au _ {xy} = 0 ,!}$ . Таким образом, мы имеем

{displaystyle sigma _ {mathrm {n}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {1} + sigma _ {2}) + {frac {1} {2}} (sigma _ {1} - sigma _ {2}) cos 2 heta,!}

{displaystyle au _ {mathrm {n}} = - {frac {1} {2}} (sigma _ {1} -sigma _ {2}) sin 2 heta,!}

Тогда максимальное напряжение сдвига ${displaystyle au _ {mathrm {max}} ,!}$ происходит когда ${displaystyle sin 2 heta = 1 ,!}$ , т.е. ${displaystyle heta = 45 ^ {circ} ,!}$ (Рисунок 8.3):

{displaystyle au _ {mathrm {max}} = {frac {1} {2}} (sigma _ {1} -sigma _ {2}) ,!}

Тогда минимальное напряжение сдвига ${displaystyle au _ {mathrm {min}} ,!}$ происходит когда ${displaystyle sin 2 heta = -1 ,!}$ , т.е. ${displaystyle heta = 135 ^ {circ} ,!}$ (Рисунок 8.3):