Теория Пикара – Вессио - Picard–Vessiot theory

В дифференциальная алгебра, Теория Пикара – Вессио это исследование дифференциальное поле расширение, порожденное решениями линейное дифференциальное уравнение, с использованием дифференциальная группа Галуа расширения поля. Основная цель состоит в том, чтобы описать, когда дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах в терминах свойств дифференциальной группы Галуа. Теория была инициирована Эмиль Пикар и Эрнест Вессио примерно с 1883 по 1904 год.

Колчин (1973) и ван дер Пут и певец (2003) подробно изложить теорию Пикара – Вессио.

История

История теории Пикара – Вессио обсуждается Борель (2001, глава VIII).

Теория Пикара – Вессио была разработана Пикаром между 1883 и 1898 годами и Вессио в 1892–1904 годах (кратко изложено в (Пикард 1908, глава XVII) и Вессио (1892, 1910 )). Основной результат их теории очень грубо говорит о том, что линейное дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах тогда и только тогда, когда его дифференциальная группа Галуа связна и разрешимый. К сожалению, трудно сказать, что именно они доказали, поскольку концепция «разрешимости в квадратурах» не определена точно и не используется последовательно в их статьях. Колчин  (1946, 1948 ) дал точные определения необходимых понятий и доказал строгую версию этой теоремы.

Колчин (1952) расширил теорию Пикара – Вессио на поля в частных производных (с несколькими коммутирующими выводами).

Ковачич (1986) описал алгоритм решения вопроса о том, могут ли однородные линейные уравнения второго порядка быть решены в квадратурах, известный как Алгоритм Ковачича.

Расширения и кольца Пикара – Вессио

Расширение F ⊆ K дифференциальных полей называется расширением Пикара – Вессио, если все константы F и K могут быть порождены присоединением решений однородного линейного обыкновенного дифференциального многочлена.

А Кольцо Пикара – Вессио р над дифференциальным полем F является дифференциальным кольцом над F это просто (нет дифференциальных идеалов, кроме 0 и р) и генерируется как k-алгебры коэффициентами при А и 1 / det (А), куда А обратимая матрица над F такой, что B = А′/А имеет коэффициенты в F. (Так А является фундаментальной матрицей для дифференциального уравнения у′ = К.)

Лиувиллевские расширения

Расширение F ⊆ K дифференциальных полей называется лиувиллевым, если все константы F, и K могут быть сгенерированы присоединением конечного числа интегралов, экспоненты интегралов и алгебраических функций. Здесь интеграл элемента а определяется как любое решение у′ = а, и экспонента от интеграла от а определяется как любое решение у′ = ай.

Расширение Пикара – Вессио является лиувиллевым тогда и только тогда, когда связная компонента его дифференциальной группы Галуа разрешима (Колчин 1948, п. 38) (ван дер Пут и Зингер 2003, Теорема 1.39). Точнее, расширения с помощью алгебраических функций соответствуют конечным дифференциальным группам Галуа, расширения с помощью интегралов соответствуют одномерным и унипотентным подфакторам дифференциальной группы Галуа, а расширения с помощью экспонент интегралов соответствуют подфакторам дифференциальной группы Галуа, равным единице. -мерно-редуктивный (торы).

Рекомендации

внешняя ссылка