Фирменный стиль Палатини - Palatini identity

В общая теория относительности и тензорное исчисление, то Палатини личность является:

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),}$

куда ${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$ обозначает вариацию Символы Кристоффеля и ${\displaystyle \nabla _{\rho }}$ указывает ковариантное дифференцирование.^[1]

Доказательство можно найти в записи Действие Эйнштейна – Гильберта.

Такая же идентичность сохраняется и для Производная Ли ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }}$. На самом деле есть:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),}$

куда ${\displaystyle \xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }}$ обозначает любой векторное поле на пространство-время многообразие ${\displaystyle M}$.

Смотрите также

• Действие Эйнштейна – Гильберта
• Вариация Палатини
• Исчисление Риччи
• Тензорное исчисление
• Символы Кристоффеля
• Тензор кривизны Римана

Примечания

1. Кристоффель, Э. (1869), "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, Б. 70: 46–70

Рекомендации

• Палатини, Аттилио (1919), "Инвариантное равновесие гравитационного равновесия Гамильтона" [Инвариантный вывод уравнений гравитации из принципа Гамильтона], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1 (на итальянском), 43: 203–212 [Английский перевод Р. Хоймана и К. Мукку в П. Г. Бергманн и В. Де Саббата (ред.) «Космология и гравитация», издательство Plenum Press, Нью-Йорк (1980)]
• Цампарлис, Майкл (1978), "О вариационном методе Палатини", Журнал математической физики, 19 (3): 555–557, Bibcode:1978JMP .... 19..555T, Дои:10.1063/1.523699