Overcategory - Overcategory

В математике, в частности теория категорий, надкатегория (и подкатегория) - это выделенный класс категории используется в нескольких контекстах, например, с покрывающие пространства (espace etale). Они были введены как механизм для отслеживания данных, окружающих фиксированный объект. ${\displaystyle X}$ в какой-то категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Существует двойственное понятие подкатегории, которое определяется аналогично.

Определение

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ быть категорией и ${\displaystyle X}$ фиксированный объект ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$^[1]стр.59. В сверхкатегория (также называемый категория срезов) ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ ассоциированная категория, объекты которой являются парами ${\displaystyle (\pi ,A)}$ куда ${\displaystyle \pi :A\to X}$ это морфизм в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Затем морфизм между объектами ${\displaystyle f:(\pi ,A)\to (\pi ',A')}$ дается морфизмом ${\displaystyle f:A\to A'}$ в категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ такая, что следующая диаграмма ездит на работу

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\pi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \pi '\\X&=&X\end{matrix}}}$

Существует двойственное понятие, называемое подкатегория (также называемая категорией coslice) ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ чьи объекты являются парами ${\displaystyle (\psi ,B)}$ куда ${\displaystyle \psi :X\to B}$ это морфизм в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Тогда морфизмы в ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ задаются морфизмами ${\displaystyle g:B\to B'}$ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ такая, что следующая диаграмма коммутирует

${\displaystyle {\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matrix}}}$

Эти два понятия имеют обобщения в Теория 2 категорий^[2] и теория высших категорий^[3]стр.43, с аналогичными или по существу одинаковыми определениями.

Характеристики

Многие категориальные свойства ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ наследуются соответствующими дополнительными и подчиненными категориями объекта ${\displaystyle X}$. Например, если ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ имеет конечный товары и побочные продукты, сразу категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ и ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ обладают этими свойствами, поскольку продукт и сопродукт могут быть построены в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, и благодаря универсальным свойствам существует уникальный морфизм либо к ${\displaystyle X}$ или из ${\displaystyle X}$. Кроме того, это касается пределы и копределы также.

Примеры

Больше категорий на сайте

Напомним, что сайт ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ является категоричным обобщением топологического пространства, впервые введенным Гротендик. Один из канонических примеров исходит непосредственно из топологии, где категория ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$ чьи объекты являются открытыми подмножествами ${\displaystyle U}$ некоторого топологического пространства ${\displaystyle X}$, а морфизмы задаются отображениями включения. Тогда для фиксированного открытого подмножества ${\displaystyle U}$, надкатегория ${\displaystyle {\text{Open}}(X)/U}$ канонически эквивалентна категории ${\displaystyle {\text{Open}}(U)}$ для индуцированной топологии на ${\displaystyle U\subseteq X}$. Это потому, что каждый объект в ${\displaystyle {\text{Open}}(X)/U}$ открытое подмножество ${\displaystyle V}$ содержалась в ${\displaystyle U}$.

Категория алгебр как подкатегория

Категория коммутативных ${\displaystyle A}$-алгебры эквивалентно подкатегории ${\displaystyle A/{\text{CRing}}}$ для категории коммутативных колец. Это потому, что структура ${\displaystyle A}$-алгебра на коммутативном кольце ${\displaystyle B}$ непосредственно кодируется морфизмом колец ${\displaystyle A\to B}$. Если мы рассмотрим противоположную категорию, это надкатегория аффинных схем, ${\displaystyle {\text{Aff}}/{\text{Spec}}(A)}$, или просто ${\displaystyle {\text{Aff}}_{A}}$.

Надкатегории пространств

Другой распространенной надкатегорией, рассматриваемой в литературе, являются надкатегории пространств, такие как схемы, гладкие многообразия или топологические пространства. Эти категории кодируют объекты относительно фиксированного объекта, например, категории схем над ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$. Волокна в этих категориях можно рассматривать пересечения, учитывая, что объекты являются подобъектами фиксированного объекта.

Смотрите также

• Категория запятых

Рекомендации

1. Ленстер, Том (2016-12-29). «Основная теория категорий». arXiv:1612.09375 [math.CT ].
2. «Раздел 4.32 (02XG): Категории важнее категорий - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-10-16.
3. Лурье, Джейкоб (31.07.2008). "Теория высших топосов". arXiv:математика / 0608040.