Ориентированная проективная геометрия - Oriented projective geometry

Ориентированная проективная геометрия является ориентированный версия настоящего проективная геометрия.

В то время как реальная проективная плоскость описывает множество всех неориентированных прямых, проходящих через начало координат в р³, то ориентированная проективная плоскость описывает линии с заданной ориентацией. Есть приложения в компьютерная графика и компьютерное зрение где необходимо различать лучи, свет излучаемый или поглощаемый точкой.

Элементы в ориентированном проективном пространстве определяются с помощью знаковых однородные координаты. Позволять ${\displaystyle \mathbf {R} _{*}^{n}}$ быть набором элементов ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ без учета происхождения.

1. Ориентированная проективная линия, ${\displaystyle \mathbf {T} ^{1}}$: ${\displaystyle (x,w)\in \mathbf {R} _{*}^{2}}$, с отношение эквивалентности ${\displaystyle (x,w)\sim (ax,aw)\,}$ для всех ${\displaystyle a>0}$.
2. Ориентированная проективная плоскость, ${\displaystyle \mathbf {T} ^{2}}$: ${\displaystyle (x,y,w)\in \mathbf {R} _{*}^{3}}$, с ${\displaystyle (x,y,w)\sim (ax,ay,aw)\,}$ для всех ${\displaystyle a>0}$.

Эти пространства можно рассматривать как продолжение евклидово пространство. ${\displaystyle \mathbf {T} ^{1}}$ можно рассматривать как объединение двух копий ${\displaystyle \mathbf {R} }$, множества (Икс, 1) и (Икс, -1) плюс две дополнительные бесконечно удаленные точки (1,0) и (-1,0). так же ${\displaystyle \mathbf {T} ^{2}}$ можно просмотреть две копии ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$, (Икс,у, 1) и (Икс,у, -1) плюс одна копия ${\displaystyle \mathbf {T} }$ (Икс,у,0).

Альтернативный способ просмотра пространств - это точки на окружности или сфере, заданные точками (Икс,у,ш) с

Икс²+у²+z²=1.

Расстояния между двумя точками

${\displaystyle p=(p_{x},p_{y},p_{w})}$

и

${\displaystyle q=(q_{x},q_{y},q_{w})}$

в

${\displaystyle \mathbf {T} ^{2}}$

можно определить как элементы в ${\displaystyle \mathbf {T} ^{1}}$

${\displaystyle ((p_{x}q_{w}-q_{x}p_{w})^{2}+(p_{y}q_{w}-q_{y}p_{w})^{2},\mathrm {sign} (p_{w}q_{w})(p_{w}q_{w})^{2})\,.}$

Рекомендации

• Столфи, Хорхе (1991). Ориентированная проективная геометрия. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-672025-9.
  Из оригинала Стэнфорд Кандидат наук. диссертация, Примитивы для вычислительной геометрии, доступно как [1].
• А. Г. Оливейра, П. Дж. Де Резенде, Ф. П. СельмиДей Расширение CGAL к ориентированной проекционной плоскости T2 и ее системе динамической визуализации, 21-й ежегодный симпозиум ACM. по вычислительной геометрии, Пиза, Италия, 2005.
• Гали, Шериф (2008). Введение в геометрические вычисления. Springer. ISBN  978-1-84800-114-5.
  Хорошее введение в ориентированную проективную геометрию в главах 14 и 15. Подробнее на сайте авторов. Шериф Гали.