Постоянная омега - Omega constant

В омега-константа это математическая константа определяется как уникальный настоящий номер который удовлетворяет уравнению

{ displaystyle Omega e ^ { Omega} = 1.}

Это ценность $W (1)$ , где $W$ является Ламберта $W$ функция. Название производное^{[нужна цитата ]} от альтернативного названия Ламберта $W$ функция, омега-функция. Числовое значение $Ω$ дан кем-то

Ω = 0.56714 3290409783872999968662210 ...

(последовательность A030178 в OEIS ).

1 / Ом = 1.76322 2834351896710225201776951 ...

(последовательность A030797 в OEIS ).

Характеристики

Представление с фиксированной точкой

Определяющая идентичность может быть выражена, например, как

{ displaystyle ln ({ tfrac {1} { Omega}}) = Omega.}

или

{ Displaystyle - пер ( Omega) = Omega}

или

{ displaystyle e ^ {- Omega} = Omega.}

Вычисление

Можно посчитать $Ω$ итеративно, начиная с первоначального предположения $Ω 0$ , и учитывая последовательность

{ displaystyle Omega _ {n + 1} = e ^ {- Omega _ {n}}.}

Эта последовательность будет сходиться к $Ω$ так как $п$ приближается к бесконечности. Это потому что $Ω$ является привлекательная фиксированная точка функции $е - Икс$ .

Намного эффективнее использовать итерацию

{ displaystyle Omega _ {n + 1} = { frac {1+ Omega _ {n}} {1 + e ^ { Omega _ {n}}}},}

потому что функция

{ displaystyle f (x) = { frac {1 + x} {1 + e ^ {x}}},}

помимо того, что он имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

С помощью Метод Галлея, $Ω$ можно аппроксимировать кубической сходимостью (количество правильных цифр примерно утраивается с каждой итерацией): (см. также Функция Ламберта W § Численное вычисление ).

{ displaystyle Omega _ {j + 1} = Omega _ {j} - { frac { Omega _ {j} e ^ { Omega _ {j}} - 1} {e ^ { Omega _ { j}} ( Omega _ {j} +1) - { frac {( Omega _ {j} +2) ( Omega _ {j} e ^ { Omega _ {j}} - 1)} { 2 Omega _ {j} +2}}}}.}

Интегральные представления

Личность благодаря Виктору Адамчику^{[нужна цитата ]} дается отношениями

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {dt} {(e ^ {t} -t) ^ {2} + pi ^ {2}}} = { frac { 1} {1+ Omega}}.}

Еще одно отношение Мезо:^[1]

{ displaystyle Omega = { frac {1} { pi}} operatorname {Re} int _ {0} ^ { pi} log left ({ frac {e ^ {e ^ {it}) } -e ^ {- it}} {e ^ {e ^ {it}} - e ^ {it}}} right) dt.}

Последнее тождество можно распространить на другие значения $W$ функция (см. также Функция Ламберта W § Представления ).

Трансцендентность

Постоянная $Ω$ является трансцендентный. Это можно рассматривать как прямое следствие Теорема Линдемана – Вейерштрасса. От противоречия предположим, что $Ω$ является алгебраическим. По теореме $е -Ω$ трансцендентно, но $Ω = е -Ω$ , что противоречит. Следовательно, это должно быть трансцендентным.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Омега Константа». MathWorld.
«Постоянная омега (1 000 000 цифр)», Коммуникационная группа Darkside (в Японии), получено 2017-12-25

[1] Иштван, Мезо. "Интегральное представление основной ветви Ламберта W функция ". Архивировано из оригинал 28 декабря 2016 г.. Получено 7 ноября 2017.

[1]