Nilsemigroup - Nilsemigroup

В математике, а точнее в полугруппа теория, nilsemigroup или же нильпотентная полугруппа полугруппа, каждый элемент которой нильпотентный.

Определения

Формально полугруппа S является нильполугруппой, если:

• S содержит 0 и
• для каждого элемента а∈S, существует натуральное число k такой, что а^k=0.

Конечные нильполугруппы

Эквивалентные определения существуют для конечной полугруппы. Конечная полугруппа S является нильпотентным, если эквивалентно:

• ${\displaystyle x_{1}\dots x_{n}=y_{1}\dots y_{n}}$ для каждого ${\displaystyle x_{i},y_{i}\in S}$, куда ${\displaystyle n}$ это мощность S.
• Ноль - единственный идемпотент S.

Примеры

Тривиальная полугруппа из одного элемента - тривиальная нильполугруппа.

Набор строго верхнетреугольная матрица, при матричном умножении нильпотентна.

Позволять ${\displaystyle I_{n}=[a,n]}$ ограниченный интервал положительных действительных чисел. За Икс, у принадлежащий я, определять ${\displaystyle x\star _{n}y}$ в качестве ${\displaystyle \min(x+y,n)}$. Теперь покажем, что ${\displaystyle \langle I,\star _{n}\rangle }$ - нильполугруппа, нулем которой является п. Для каждого натурального числа k, kx равно ${\displaystyle \min(kx,n)}$. За k по крайней мере равно ${\displaystyle \left\lceil {\frac {n-x}{x}}\right\rceil }$, kx равно п. Этот пример обобщается для любого ограниченного интервала Архимедов упорядоченная полугруппа.

Характеристики

Нетривиальная нильполугруппа не содержит единичного элемента. Отсюда следует, что единственный нильпотентный моноид - это тривиальный моноид.

Класс нильполугрупп:

• замкнуты относительно взятия подполугрупп
• закрыт при приеме частные
• закрытые по конечным продуктам
• но это нет закрыто по произвольному прямой продукт. Действительно, возьмем полугруппу ${\displaystyle S=\prod _{i\in \mathbb {N} }\langle I_{n},\star _{n}\rangle }$, куда ${\displaystyle \langle I_{n},\star _{n}\rangle }$ определяется, как указано выше. Полугруппа S является прямым произведением нильполугрупп, но не содержит нильпотентных элементов.

Отсюда следует, что класс нильполугрупп не является многообразие универсальной алгебры. Однако множество конечных нильполугрупп является многообразие конечных полугрупп. Многообразие конечных нильполугрупп определяется проконечными равенствами ${\displaystyle x^{\omega }y=x^{\omega }=yx^{\omega }}$.

Рекомендации

• Пин, Жан-Эрик (2018-06-15). Математические основы теории автоматов (PDF). п. 198.
• Grillet, PA (1995). Полугруппы. CRC Press. п. 110. ISBN  978-0-8247-9662-4.