Отрицательная частота - Negative frequency

Концепция чего-либо отрицательный и положительный частота может быть таким же простым, как колесо, вращающееся в одну или другую сторону: значение со знаком частоты может указывать как скорость, так и направление вращения. Скорость выражается в таких единицах, как обороты (также известные как число оборотов). циклы) в секунду (герц ) или же радиан в секунду (где 1 цикл соответствует 2π радианы ).

Синусоиды

Позволять ω - неотрицательный параметр с единицами измерения радиан в секунду. Тогда угловая функция (угол в зависимости от времени) −ωt + θ, имеет уклон -ω, который называется отрицательная частота. Но когда функция используется в качестве аргумента оператора косинуса, результат неотличим от cos (ωt − θ). По аналогии, грех (-ωt + θ) неотличим от грех (ωt − θ + π). Таким образом, любой синусоида можно представить в виде положительных частот. Знак нижележащего фазового наклона неоднозначен.

Отрицательная частота заставляет функцию sin (фиолетовый) опережать cos (красный) на 1/4 цикла.

Вектор (потому что тгрех т) вращается против часовой стрелки со скоростью 1 радиан в секунду и завершает круг каждые 2π секунд. Вектор (соз -т, грех -т) вращается в другом направлении (не показано).

Неопределенность разрешается, когда операторы косинуса и синуса могут наблюдаться одновременно, потому что cos (ωt + θ) ведет грех (ωt + θ) на 1/4 цикла (= π/ 2 радиана), когда ω > 0, и отстает на 1/4 цикла, когда ω < 0. Аналогично вектор, (потому что тгрех т), вращается против часовой стрелки со скоростью 1 радиан / секунду и завершает круг каждые 2π секунды, а вектор (cos −t, sin −t) вращается в другом направлении.

Знак ω также сохраняется в комплексная функция:

{ Displaystyle е ^ {я omega t} = underbrace { cos ( omega t)} _ {R (t)} + я cdot underbrace { sin ( omega t)} _ {I (t )},}

^[A]

(Уравнение 1)

поскольку R (т) и я(т) можно отдельно извлечь и сравнить. Несмотря на то что ${ displaystyle e ^ {я omega t}}$ явно содержит больше информации, чем любой из его компонентов, общая интерпретация заключается в том, что это более простая функция, потому что:

Это упрощает многие важные тригонометрические вычисления, что приводит к его формальному описанию как аналитическое представление из ${ Displaystyle соз ( омега т)}$ .^[B]

Следствие Уравнение 1 является:

{ displaystyle cos ( omega t) = { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} left (e ^ {i omega t} + e ^ {- i omega t} right),}

(Уравнение 2)

что приводит к интерпретации cos (ωt) состоит из обе положительные и отрицательные частоты. Но на самом деле сумма - это аннулирование, которое содержит меньше, а не больше информации. Любой показатель, указывающий на обе частоты, включает ложное срабатывание (или псевдоним), потому что ω может иметь только один знак.^[C] В преобразование Фурье, например, просто говорит нам, что cos (ωt) одинаково хорошо коррелирует с cos (ωt) + я грех (ωt) как с cos (ωt) − я грех (ωt).^[D]

Приложения

Возможно, наиболее известным применением отрицательной частоты является расчет:

{ displaystyle X ( omega) = int _ {a} ^ {b} x (t) cdot e ^ {- я omega t} dt,}

которая является мерой количества частоты ω в функции Икс(т) на интервале (а, б). При оценке как непрерывная функция от ω для теоретического интервала (−∞, ∞), он известен как преобразование Фурье из Икс(т). Краткое объяснение состоит в том, что произведение двух сложных синусоид также является комплексной синусоидой, частота которой является суммой исходных частот. Так когда ω положительный, ${ displaystyle e ^ {- я omega t}}$ вызывает все частоты Икс(т) для уменьшения на сумму ω. Какая бы часть Икс(т), которая была на частоте ω изменяется на нулевую частоту, которая является просто константой, уровень амплитуды которой является мерой силы исходного ω содержание. И какая бы часть Икс(т), которая была на нулевой частоте, изменяется на синусоиду на частоте -ω. Аналогичным образом все остальные частоты меняются на ненулевые значения. Поскольку интервал (а, б) увеличивается, вклад постоянного члена растет пропорционально. Но вклад синусоидальных членов колеблется только около нуля. Так Икс(ω) улучшается как относительная мера количества частоты ω в функции Икс(т).

В преобразование Фурье из ${ displaystyle e ^ {я omega t}}$ дает ненулевой отклик только на частоте ω. Преобразование ${ Displaystyle соз ( омега т)}$ есть ответы на обоих ω и -ω, как и ожидалось Уравнение 2.

Выборка положительных и отрицательных частот и наложение спектров

На этом рисунке изображены две сложные синусоиды, золотого и голубого цвета, которые соответствуют одним и тем же наборам реальных и мнимых точек выборки. Таким образом, они являются псевдонимами друг друга при выборке со скоростью (ж_s), обозначенные линиями сетки. Функция золотого цвета отображает положительную частоту, поскольку ее действительная часть (функция cos) опережает мнимую часть на 1/4 одного цикла. Функция cyan отображает отрицательную частоту, потому что ее действительная часть отстает от мнимой части.

Примечания

^ Эквивалентность называется Формула Эйлера
^ Видеть Формула Эйлера § Связь с тригонометрией и Фазор § Дополнение для примеров расчетов, упрощенных сложным представлением.
^ И наоборот, любой показатель, указывающий только на одну частоту, сделал предположение, возможно, основанное на дополнительной информации.
^ cos (ωt) и грех (ωt) находятся ортогональные функции, поэтому мнимые части обеих корреляций равны нулю.

дальнейшее чтение

Положительные и отрицательные частоты
Лайонс, Ричард Г. (11 ноября 2010 г.). Глава 8.4. Понимание цифровой обработки сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. 944 стр. ISBN 0137027419.

[1] Эквивалентность называется Формула Эйлера

[2] Видеть Формула Эйлера § Связь с тригонометрией и Фазор § Дополнение для примеров расчетов, упрощенных сложным представлением.

[3] И наоборот, любой показатель, указывающий только на одну частоту, сделал предположение, возможно, основанное на дополнительной информации.

[4] s (ωt) и грех (ωt) находятся ортогональные функции, поэтому мнимые части обеих корреляций равны нулю.

[A]

[B]

[C]

[D]