Подвижная нагрузка - Moving load

Пантограф

Тренироваться

Винтовка

Примеры движущегося груза.

Сила

Осциллятор

Масса

Виды подвижного груза.

В структурная динамика это нагрузка, которая изменяется во времени в месте приложения. Примеры: автомобили, проезжающие мосты, поезда на рельсах, направляющих и т. Д. В вычислительных моделях нагрузка обычно применяется как:

• простая безмассовая сила,
• осциллятор,
• инерционная сила (масса и безмассовая сила).

Существует множество исторических обзоров, касающихся проблемы подвижной нагрузки (например,^[1][2]Схожим проблемам посвящено несколько публикаций.^[3]

Основная монография посвящена безмассовым нагрузкам.^[4] Инерционные нагрузки в численных моделях описаны в ^[5]Неожиданное свойство дифференциальных уравнений, управляющих движением массовой частицы, движущейся по струне, Тимошенко луч, и Миндлин пластина описана в.^[6] Это разрыв траектории массы около конца пролета (хорошо виден в струне на скорости v=0.5c). Движущаяся нагрузка значительно увеличивает смещения. В инженерных проектах необходимо учитывать критическую скорость, при которой рост перемещений является максимальным. Конструкции, несущие движущиеся нагрузки, могут иметь конечные размеры или могут быть бесконечными и периодически поддерживаться или размещаться на упругом основании.

Рассмотрим просто поддерживаемую строку длины л, площадь поперечного сечения А, массовая плотность ρ, растягивающая сила N, подверженный постоянной силе пдвижется с постоянной скоростью v. Уравнение движения струны под действием движущей силы имеет вид

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}+\rho A{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial t^{2}}}=\delta (x-vt)P\ .}$

Смещения любой точки свободно поддерживаемой струны задаются синусной серией

${\displaystyle w(x,t)={\frac {2P}{\rho Al}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{\omega _{(j)}^{2}-\omega ^{2}}}\left(\sin(\omega t)-{\frac {\omega }{\omega _{(j)}}}\sin(\omega _{(j)}t)\right)\sin {\frac {j\pi x}{l}}\ ,}$

куда

${\displaystyle \omega ={\frac {j\pi v}{l}}\ ,}$

и собственная круговая частота струны

${\displaystyle \omega _{(j)}^{2}={\frac {j^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}}{\frac {N}{\rho A}}\ .}$

В случае инерционной движущейся нагрузки аналитические решения неизвестны. Уравнение движения увеличивается за счет члена, связанного с инерцией движущейся нагрузки. Концентрированная масса м в сопровождении точечного отряда п:

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}+\rho A{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial t^{2}}}=\delta (x-vt)P-\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$

Сходимость решения для разного количества сроков.

Последним членом из-за сложности вычислений инженеры часто пренебрегают. Влияние нагрузки сводится к безмассовой нагрузке. Иногда в точку контакта ставят осциллятор. Такие подходы допустимы только в небольшом диапазоне скоростей движущейся нагрузки. В более высоких диапазонах как амплитуда, так и частота колебаний существенно различаются для обоих типов нагрузки.

Дифференциальное уравнение можно решить полуаналитическим способом только для простых задач. Ряд, определяющий решение, хорошо сходится, и на практике достаточно 2-3 членов. Более сложные проблемы могут быть решены метод конечных элементов или же пространственно-временной метод конечных элементов.

безмассовая нагрузка	инерционная нагрузка
Колебания струны под действием движущейся безмассовой силы (v=0.1c); c скорость волны. Колебания струны под действием движущейся безмассовой силы (v=0.5c); c скорость волны.	Колебания струны под действием движущейся инерционной силы (v=0.1c); c скорость волны. Колебания струны под действием движущейся инерционной силы (v=0.5c); c скорость волны.

На луче Тимошенко также хорошо виден разрыв траектории масс. Это явление подчеркивается высокой жесткостью на сдвиг.

Колебания луча Тимошенко: красные линии - оси луча во времени, черная линия - массовая траектория (w₀- статический прогиб).

Подход Ренодо против подхода Якушева
Подход Ренодо

${\displaystyle \delta (x-vt){\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}\left[m{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}\right]=\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$

Подход Якушева

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}\left[\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}\right]=-\delta ^{\prime }(x-vt)mv{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}+\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$

Безмассовая струна под движущейся инерционной нагрузкой
Рассмотрим безмассовую струну, которая является частным случаем задачи о движущейся инерционной нагрузке. Первым решает задачу Смит.^[7]Анализ будет следовать решению Фрыбы.^[4] Предполагаяρ= 0 уравнение движения струны под движущейся массой можно записать в следующем виде

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}=\delta (x-vt)P-\delta (x-vt)\,m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$

Мы накладываем граничные условия с носителем и нулевые начальные условия. Для решения этого уравнения мы используем свойство свертки. Предположим безразмерные перемещения струны y и безразмерное время τ :

Безмассовая струна и движущаяся масса - массовая траектория.

${\displaystyle y(\tau )={\frac {w(vt,t)}{w_{st}}}\ ,\ \ \ \ \tau \ =\ {\frac {vt}{l}}\ ,}$

куда ш_ул - статический прогиб в середине струны. Решение дается суммой

${\displaystyle y(\tau )={\frac {4\,\alpha }{\alpha \,-\,1}}\,\tau \,(\tau -1)\,\sum _{k=1}^{\infty }\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {(a+i-1)(b+i-1)}{c+i-1}}\;{\frac {\tau ^{k}}{k!}}\ ,}$

куда α - безразмерные параметры:

${\displaystyle \alpha ={\frac {Nl}{2mv2}}\,>\,0\ \ \ \wedge \ \ \ \alpha \,\neq \,1\ .}$

Параметры а, б и c приведены ниже

${\displaystyle a_{1,2}={\frac {3\,\pm \,{\sqrt {1+8\alpha }}}{2}}\ ,\ \ \ \ \ b_{1,2}={\frac {3\,\mp \,{\sqrt {1+8\alpha }}}{2}}\ ,\ \ \ \ \ c=2\ .}$

Безмассовая струна и движущаяся траектория масса - масса, α = 1.

В случае α= 1 рассматриваемая задача имеет замкнутое решение

${\displaystyle y(\tau )=\left[{\frac {4}{3}}\tau (1-\tau )-{\frac {4}{3}}\tau \left(1+2\tau \ln(1-\tau )+2\ln(1-\tau )\right)\right]\ .}$

Рекомендации

1. К. Э. Инглис. Математический трактат о колебаниях железнодорожных мостов. Издательство Кембриджского университета, 1934.
2. А. Шалленкамп. Schwingungen von Tragern bei bewegten Lasten. Ingenieur-Archiv, 8, 182-198, 1937.
3. СРЕДНИЙ. Пестерев; Л.А. Бергман; C.A. Тан; T.C. Цао; Б. Ян (2003). «Об асимптотике решения задачи движущегося осциллятора» (PDF). J. Звук и вибрация. 260. С. 519–536. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-10-18. Получено 2012-11-09.
4. Л. Фрыба (1999). Колебания твердых тел и конструкций под действием движущихся нагрузок. Дом Томаса Телфорда. ISBN  9780727727411.
5. C.I. Байер и Б. Дыневич (2012). Численный анализ колебаний конструкций при движущейся инерционной нагрузке.. Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике. 65. Springer. Дои:10.1007/978-3-642-29548-5. ISBN  978-3-642-29547-8.
6. Б. Дыневич и К.И. Баджер (2009). «Парадокс движения частицы по струне». Arch. Appl. Мех. 79 (3). С. 213–223. Дои:10.1007 / s00419-008-0222-9.
7. К.Е. Смит (1964). «Движение натянутой струны, несущей движущуюся частицу массы». J. Appl. Мех. 31 (1). С. 29–37.