Закон Морри - Morries law

Закон Морри это особенный тригонометрическая идентичность. Свое название получил в честь физика Ричард Фейнман, который раньше ссылался на личность под этим именем. Фейнман выбрал это имя, потому что он выучил его в детстве от мальчика по имени Морри Джейкобс и впоследствии запомнил его на всю жизнь.^[1]

Идентичность и обобщение

${\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}.}$

Это особый случай более общей идентичности

${\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$

с п = 3 и α = 20 ° и тот факт, что

${\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1,}$

поскольку

${\displaystyle \sin(180^{\circ }-x)=\sin(x).}$

Похожие идентичности

Аналогичное тождество и для синусоидальной функции:

${\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}$

Более того, если разделить вторую идентичность на первую, становится очевидной следующая идентичность:

${\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ }).}$

Доказательство

Геометрическое доказательство закона Морри

правильный нонагон ${\displaystyle ABCDEFGHI}$ с ${\displaystyle O}$ быть центром ее описанный круг. Расчет углов:
${\displaystyle {\begin{aligned}40^{\circ }&={\frac {360^{\circ }}{9}}\\70^{\circ }&={\frac {180^{\circ }-40^{\circ }}{2}}\\\alpha &=180^{\circ }-90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\\\beta &=180^{\circ }-90^{\circ }-(70^{\circ }-\alpha )=40^{\circ }\\\gamma &=140^{\circ }-\beta -\alpha =80^{\circ }\end{aligned}}}$

Рассмотрим обычный девятиугольник ${\displaystyle ABCDEFGHI}$ с длиной стороны ${\displaystyle 1}$ и разреши ${\displaystyle M}$ быть серединой ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle L}$ середина ${\displaystyle BF}$ и ${\displaystyle J}$ середина ${\displaystyle BD}$. Внутренние углы шестигранника равны ${\displaystyle 140^{\circ }}$ и, кроме того ${\displaystyle \gamma =\angle FBM=80^{\circ }}$, ${\displaystyle \beta =\angle DBF=40^{\circ }}$ и ${\displaystyle \alpha =\angle CBD=20^{\circ }}$ (см. рисунок). Применяя косинус определение в прямоугольные треугольники ${\displaystyle \triangle BFM}$, ${\displaystyle \triangle BDL}$ и ${\displaystyle \triangle BCJ}$ затем дает доказательство закона Морри:^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=|AB|\\&=2\cdot |MB|\\&=2\cdot |BF|\cdot \cos(\gamma )\\&=2^{2}|BL|\cos(\gamma )\\&=2^{2}\cdot |BD|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BJ|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\\&=2^{3}\cdot |BC|\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=2^{3}\cdot 1\cdot \cos(\gamma )\cdot \cos(\beta )\cdot \cos(\alpha )\\&=8\cdot \cos(80^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(20^{\circ })\end{aligned}}}$

Алгебраическое доказательство обобщенного тождества

Напомним формулу двойного угла для синусоидальной функции

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).}$

Решить для ${\displaystyle \cos(\alpha )}$

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.}$

Следует, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}}$

Умножение всех этих выражений вместе дает:

${\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.}$

Промежуточные числители и знаменатели отменяют, оставляя только первый знаменатель, степень двойки и последний числитель. Обратите внимание, что есть п термины в обеих частях выражения. Таким образом,

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}},}$

что эквивалентно обобщению закона Морри.

Рекомендации

1. У. А. Бейер, Дж. Д. Лук и Д. Цайльбергер, Обобщение любопытства, которое Фейнман помнил на всю жизнь, Математика. Mag. 69, 43–44, 1996. (JSTOR )
2. Сэмюэл Г. Морено, Эстер М. Гарсия-Кабальеро: «Геометрическое доказательство закона Морри». В: Американский математический ежемесячный журнал, т. 122, нет. 2 (февраль 2015 г.), стр. 168 (JSTOR )

дальнейшее чтение

• Глен Ван Браммелен: Тригонометрия: очень краткое введение. Издательство Оксфордского университета, 2020 г., ISBN  9780192545466, стр. 79-83
• Эрнест К. Андерсон: Закон Морри и экспериментальная математика. В: Журнал развлекательной математики, 1998

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Закон Морри". MathWorld.