Монада трансформер - Monad transformer

В функциональное программирование, а монада трансформатор конструктор типа, который принимает монада в качестве аргумента и в результате возвращает монаду.

Преобразователи монад могут использоваться для компоновки функций, инкапсулированных монадами, таких как состояние, Обработка исключений, а ввод / вывод - по модульному принципу. Обычно преобразователь монад создается путем обобщения существующей монады; применение результирующего преобразователя монады к монаде идентичности дает монаду, эквивалентную исходной монаде (игнорируя все необходимые упаковки и распаковки).

Определение

Преобразователь монад состоит из:

Конструктор типа т из своего рода (* -> *) -> * -> *
Монадные операции возвращаться и связывать (или эквивалентную формулировку) для всех т м куда м монада, удовлетворяющая законы монад
Дополнительная операция, лифт :: м а -> т м а, удовлетворяющие следующим законам:^[1] (обозначение `привязать` ниже указано инфиксное приложение):
1. поднимать . return = возврат
2. lift (m `bind` k) = (lift m)` bind` (lift. k)

Примеры

Вариант монадного трансформатора

Учитывая любую монаду ${displaystyle mathrm {M}, A}$ , вариант монадного преобразователя ${displaystyle mathrm {M} left (A ^ {?} ight)}$ (куда ${displaystyle A ^ {?}}$ обозначает тип опциона ) определяется:

{displaystyle {egin {array} {ll} mathrm {return}: & Aightarrow mathrm {M} left (A ^ {?} ight) = amapsto mathrm {return} (mathrm {Just}, a) mathrm {bind}: & mathrm {M} left (A ^ {?} Ight) ightarrow left (Aightarrow mathrm {M} left (B ^ {?} Ight) ight) ightarrow mathrm {M} left (B ^ {?} Ight) = mmapsto fmapsto mathrm { bind}, m, left (amapsto {egin {cases} {mbox {return Nothing}} & {mbox {if}} a = mathrm {Nothing} f, a '& {mbox {if}} a = mathrm {Просто }, a'end {cases}} ight) mathrm {lift}: & mathrm {M} (A) ightarrow mathrm {M} left (A ^ {?} ight) = mmapsto mathrm {bind}, m, (amapsto mathrm {return} (mathrm {Just}, a)) end {array}}}

Преобразователь монад исключения

Учитывая любую монаду ${displaystyle mathrm {M}, A}$ , преобразователь монад исключения ${displaystyle mathrm {M} (A + E)}$ (куда $E$ является типом исключений) определяется:

{displaystyle {egin {array} {ll} mathrm {return}: & Aightarrow mathrm {M} (A + E) = amapsto mathrm {return} (mathrm {value}, a) mathrm {bind}: & mathrm {M} ( A + E) ightarrow (Aightarrow mathrm {M} (B + E)) ightarrow mathrm {M} (B + E) = mmapsto fmapsto mathrm {bind}, m, left (amapsto {egin {cases} {mbox {return err }} e & {mbox {if}} a = mathrm {err}, e f, a '& {mbox {if}} a = mathrm {value}, a'end {case}} ight) mathrm {lift} : & mathrm {M}, Aightarrow mathrm {M} (A + E) = mmapsto mathrm {bind}, m, (amapsto mathrm {return} (mathrm {значение}, a)) end {array}}}

Читатель монада преобразователь

Учитывая любую монаду ${displaystyle mathrm {M}, A}$ , преобразователь монад читателя ${displaystyle Eightarrow mathrm {M}, A}$ (куда $E$ является типом среды) определяется:

{displaystyle {egin {array} {ll} mathrm {return}: & Aightarrow Eightarrow mathrm {M}, A = amapsto emapsto mathrm {return}, a mathrm {bind}: & (Eightarrow mathrm {M}, A) ightarrow ( Aightarrow Eightarrow mathrm {M}, B) ightarrow Eightarrow mathrm {M}, B = mmapsto kmapsto emapsto mathrm {bind}, (m, e), (amapsto k, a, e) mathrm {lift}: & mathrm {M} , Aightarrow Eightarrow mathrm {M}, A = amapsto emapsto a end {array}}}

Преобразователь государственной монады

Учитывая любую монаду ${displaystyle mathrm {M}, A}$ , преобразователь монад состояний ${displaystyle Sightarrow mathrm {M} (A imes S)}$ (куда $S$ является типом состояния) определяется:

{displaystyle {egin {array} {ll} mathrm {return}: & Aightarrow Sightarrow mathrm {M} (A imes S) = amapsto smapsto mathrm {return}, (a, s) mathrm {bind}: & (Sightarrow mathrm { M} (A imes S)) ightarrow (Aightarrow Sightarrow mathrm {M} (B imes S)) ightarrow Sightarrow mathrm {M} (B imes S) = mmapsto kmapsto smapsto mathrm {bind}, (m, s), (( a, s ') mapsto k, a, s') mathrm {lift}: & mathrm {M}, Aightarrow Sightarrow mathrm {M} (A imes S) = mmapsto smapsto mathrm {bind}, m, (amapsto mathrm {return }, (a, s)) конец {массив}}}

Преобразователь монады писателя

Учитывая любую монаду ${displaystyle mathrm {M}, A}$ , писатель монад трансформер ${displaystyle mathrm {M} (W imes A)}$ (куда $W$ наделен моноид операция $*$ с элементом идентичности ${displaystyle varepsilon}$ ) определяется:

{displaystyle {egin {array} {ll} mathrm {return}: & Aightarrow mathrm {M} (W imes A) = amapsto mathrm {return}, (varepsilon, a) mathrm {bind}: & mathrm {M} (W imes A) ightarrow (Aightarrow mathrm {M} (W imes B)) ightarrow mathrm {M} (W imes B) = mmapsto fmapsto mathrm {bind}, m, ((w, a) mapsto mathrm {bind}, (f, a), ((w ', b) mapsto mathrm {return}, (w * w', b))) mathrm {lift}: & mathrm {M}, Aightarrow mathrm {M} (W imes A) = mmapsto mathrm {bind}, m, (amapsto mathrm {return}, (varepsilon, a)) end {array}}}

Преобразователь монад продолжения

Учитывая любую монаду ${displaystyle mathrm {M}, A}$ , преобразователь монады продолжения отображает произвольный тип $р$ на функции типа ${displaystyle (Aightarrow mathrm {M}, R) ightarrow mathrm {M}, R}$ , куда $р$ - тип результата продолжения. Это определяется:

{displaystyle {egin {array} {ll} mathrm {return} двоеточие и стрелка влево (Aightarrow mathrm {M}, Right) ightarrow mathrm {M}, R = amapsto kmapsto k, mathrm {bind} двоеточие и левое (left (Aightarrow mathrm {M}, Right) ightarrow mathrm {M}, Right) ightarrow left (Aightarrow left (Bightarrow mathrm {M}, Right) ightarrow mathrm {M}, Right) ightarrow left (Bightarrow mathrm {M}, Right) ightarrow mathrm {M}, R = cmapsto fmapsto kmapsto c, left (amapsto f, a, kight) mathrm {lift} двоеточие & mathrm {M}, Aightarrow (Aightarrow mathrm {M}, R) ightarrow mathrm {M}, R = mathrm {привязка} конец {массив}}}

Обратите внимание, что преобразования монад обычно не коммутативный: например, применение преобразователя состояния к монаде опций дает тип ${displaystyle Sightarrow left (A imes Sight) ^ {?}}$ (вычисление, которое может потерпеть неудачу и не дать конечного состояния), тогда как обратное преобразование имеет тип ${displaystyle Sightarrow left (A ^ {?} imes Sight)}$ (вычисление, которое дает конечное состояние и необязательное возвращаемое значение).