Модифицированное логнормальное степенное распределение - Modified lognormal power-law distribution

В Модифицированный логнормальный степенной закон (MLP) - это трехпараметрическая функция, которую можно использовать для моделирования данных, которые имеют характеристики логнормальное распределение и сила закона поведение. Он был использован для моделирования функциональной формы Начальная функция масс (МВФ). В отличие от других функциональных форм МВФ, MLP представляет собой единую функцию без условий присоединения.

Функциональная форма распределения MLP

Замкнутая форма функции плотности вероятности MLP имеет следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(m)={\frac {\alpha }{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-(1+\alpha )}{\text{erfc}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)\right),\ m\in [0,\infty )\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\delta }{\gamma }}\end{aligned}}}$ - асимптотический степенной индекс распределения. Здесь ${\displaystyle \mu _{0}}$ и ${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$ являются средним значением и дисперсией, соответственно, лежащего в основе логнормального распределения, из которого выводится MLP.

Математические свойства распределения MLP

Ниже приведены несколько математических свойств распределения MLP:

Кумулятивное распределение

MLP кумулятивная функция распределения (${\displaystyle F(m)=\int _{-\infty }^{m}f(t)\,dt}$) дан кем-то:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(m)={\frac {1}{2}}{\text{erfc}}\left(-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)-{\frac {1}{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-\alpha }{\text{erfc}}\left({\frac {\alpha \sigma _{0}}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)\right)\end{aligned}}}$

Мы можем видеть это как ${\displaystyle m\to 0,}$ который ${\displaystyle \textstyle F(m)\to {\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln(m-\mu _{0})}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right),}$ которая является кумулятивной функцией распределения для логнормального распределения с параметрами μ₀ и σ₀.

Среднее значение, отклонение, исходные моменты

В ожидаемое значение из ${\displaystyle M}$^k дает ${\displaystyle k}$^th грубый момент из ${\displaystyle M}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }m^{k}f(m)\mathrm {d} m\end{aligned}}}$

Это существует тогда и только тогда, когда α> ${\displaystyle k}$, в этом случае он становится:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{k}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -k}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}k^{2}}{2}}+\mu _{0}k\right),\ \alpha >k\end{aligned}}}$

какой ${\displaystyle k}$^th исходный момент логнормального распределения с параметрами μ₀ и σ₀ масштабируется^α⁄_{α-${\displaystyle k}$} в пределе α → ∞. Это дает среднее значение и дисперсию распределения MLP:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -1}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}}{2}}+\mu _{0}\right),\ \alpha >1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{2}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -2}}\exp \left(2\left(\sigma _{0}^{2}+\mu _{0}\right)\right),\ \alpha >2\end{aligned}}}$

Вар (${\displaystyle M}$) = ⟨${\displaystyle M}$²⟩-(⟨${\displaystyle M}$⟩)² = α exp (σ₀² + 2 мкм₀) (ехр (σ₀²)/α-2 - α/(α-2)²), α> 2

Режим

Решение уравнения ${\displaystyle f'(m)}$ = 0 (приравнивая наклон к нулю в точке максимумов) для ${\displaystyle m}$ дает режим распределения MLP.

${\displaystyle f'(m)=0\Leftrightarrow K\operatorname {erfc} (u)=\exp(-u^{2}),}$

куда ${\displaystyle \textstyle u={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln m-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)}$ и ${\displaystyle K=\sigma _{0}(\alpha +1){\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}.}$

Для решения этого трансцендентного уравнения требуются численные методы. Однако, отмечая, что если ${\displaystyle K}$≈1, то u = 0 дает нам моду ${\displaystyle m}$^*:

${\displaystyle m^{*}=\exp(\mu _{0}+\alpha \sigma _{0}^{2})}$

Случайная переменная

Логнормальная случайная величина:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\mu ,\sigma )=\exp(\mu +\sigma N(0,1))\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle N(0,1)}$ стандартная нормальная случайная переменная. Экспоненциальная случайная величина:

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\delta )=-\delta ^{-1}\ln(R(0,1))\end{aligned}}}$

где R (0,1) - равномерная случайная величина в интервале [0,1]. Используя эти два, мы можем вывести случайную величину для распределения MLP:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(\mu _{0},\sigma _{0},\alpha )=\exp(\mu _{0}+\sigma _{0}N(0,1)-\alpha ^{-1}\ln(R(0,1)))\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. Басу, Шантану; Гил, М; Аудди, Саятан (1 апреля 2015 г.). «Распределение MLP: модифицированная логнормальная степенная модель для функции начальной массы звезды». MNRAS. 449 (3): 2413–2420. arXiv:1503.00023. Bibcode:2015МНРАС.449.2413Б. Дои:10.1093 / мнрас / stv445.