Теорема Мнёва об универсальности - Mnëvs universality theorem

В алгебраическая геометрия, Теорема универсальности Мнева результат, который можно использовать для представления алгебраический (или же полуалгебраический ) разновидностей как реализации ориентированные матроиды, понятие комбинаторика.^[1][2][3]

Ориентированные матроиды

В целях универсальности Мнёва ориентированный матроид конечного подмножества ${\displaystyle S\subset {\mathbb {R} }^{n}}$ список всех разбиений точек в S индуцированные гиперплоскостями в ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$. В частности, структура ориентированного матроида содержит полную информацию об отношениях инцидентности в S, побуждая S а матроид структура.

В пространство реализации ориентированного матроида - это пространство всех конфигураций точек ${\displaystyle S\subset {\mathbb {R} }^{n}}$ индуцирование такой же ориентированной структуры матроида на S.

Стабильная эквивалентность полуалгебраических множеств

Для целей универсальности Мнева стабильная эквивалентность из полуалгебраические множества определяется следующим образом.

Позволять U, V - полуалгебраические множества, полученные как несвязное объединение связных полуалгебраических множеств

${\displaystyle U=U_{1}\coprod \cdots \coprod U_{k}}$, ${\displaystyle V=V_{1}\coprod \cdots \coprod V_{k}}$

Мы говорим что U и V находятся рационально эквивалентный если существуют гомеоморфизмы ${\displaystyle U_{i}{\stackrel {\varphi _{i}}{\mapsto }}V_{i}}$ определяется рациональными картами.

Позволять ${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n+d},V\subset {\mathbb {R} }^{n}}$ - полуалгебраические множества,

${\displaystyle U=U_{1}\coprod \cdots \coprod U_{k}}$, ${\displaystyle V=V_{1}\coprod \cdots \coprod V_{k}}$

с ${\displaystyle U_{i}}$ отображение на ${\displaystyle V_{i}}$ под естественной проекцией ${\displaystyle \pi }$ удаление последнего d координаты. Мы говорим что ${\displaystyle \pi :\;U\mapsto V}$ это стабильная проекция если существуют целочисленные полиномиальные отображения

${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{\ell },\psi _{1},\dots ,\psi _{m}:\;{\mathbb {R} }^{n}\mapsto ({\mathbb {R} }^{d})^{*}}$

такой, что

${\displaystyle U_{i}=\{(v,v')\in {\mathbb {R} }^{n+d}\mid v\in V_{i}{\text{ and }}\langle \varphi _{a}(v),v'\rangle >0,\langle \psi _{b}(v),v'\rangle =0{\text{ for }}a=1,\dots ,\ell ,b=1,\dots ,m\}.}$

В стабильная эквивалентность является отношением эквивалентности на полуалгебраических подмножествах, порожденным стабильными проекциями и рациональной эквивалентностью.

Теорема универсальности Мнева

ТЕОРЕМА (Теорема универсальности Мнева)

Позволять V - полуалгебраическое подмножество в ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ определяется над целыми числами. потом V стабильно эквивалентна пространству реализаций некоторого ориентированного матроида.

История

Теорема универсальности Мнева была открыта Николай Мнёв в его докторской диссертации 1986 г. Тезис.^[4] Он имеет множество приложений в алгебраической геометрии благодаря Лоран Лафорг, Рави Вакил и другие, позволяющие строить пространства модулей с произвольно плохим поведением.

Примечания

• Теорема универсальности, лекция Николая Мнёва.
• Николай Е. Мнёв, Теоремы универсальности по проблеме классификации многообразий конфигураций и многообразий выпуклых многогранников (стр. 527–543), в сб. «Топология и геометрия: семинар Рохлина». Отредактировано О.Я. Виро. Конспект лекций по математике, 1346. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
• Вакил, Рави (2006), «Закон Мерфи в алгебраической геометрии: Плохо ведущие деформационные пространства», Inventiones Mathematicae, 164 (3): 569–590, arXiv:математика / 0411469, Дои:10.1007 / s00222-005-0481-9.
• Рихтер-Геберт, Юрген (1995), "Возвращение к теореме Мнёва об универсальности", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B34h: 15

• Юрген Рихтер-Геберт Теоремы универсальности для ориентированных матроидов и многогранников, Contemporary Mathematics 223, 269–292 (1999).

Рекомендации

1. Мнев, Н. Е. (1988), "Теоремы универсальности по проблеме классификации многообразий конфигураций и многообразий выпуклых многогранников", Топология и геометрия - семинар Рохлин, Конспект лекций по математике, 1346, Springer Berlin Heidelberg, стр. 527–543, Дои:10.1007 / bfb0082792, ISBN  9783540502371
2. Штурмфельс, Бернд; Грицманн, Питер, ред. (1991-06-26). Прикладная геометрия и дискретная математика: Фестивальный сборник Виктора Клее. Серия DIMACS по дискретной математике и теоретической информатике. 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Дои:10.1090 / dimacs / 004. ISBN  9780821865934.
3. Вершик, А. М. (1988), Топология многообразий выпуклых многогранников, многообразие проективных конфигураций данного комбинаторного типа и представления решеток, Конспект лекций по математике, 1346, Springer Berlin Heidelberg, стр. 557–581, Дои:10.1007 / bfb0082794, ISBN  9783540502371
4. "Домашняя страница Николая Мнева". www.pdmi.ras.ru. Получено 2018-09-18.