Вторая теорема Минковского - Minkowskis second theorem

В математике Вторая теорема Минковского это результат геометрия чисел о ценностях, принятых норма на решетке и объем ее фундаментальной ячейки.

Параметр

Позволять K быть закрыто выпуклый центрально-симметричный тело положительного конечного объема в п-размерный Евклидово пространство ℝ^п. В измерять^[1] или же расстояние^[2][3] Функционал Минковского грамм прикреплен к K определяется

${\displaystyle g(x)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb {R} :x\in \lambda K\right\}.}$

И наоборот, учитывая норму грамм на ℝ^п мы определяем K быть

${\textstyle K=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)\leq 1\right\}.}$

Позволять Γ быть решетка в ℝ^п. В последовательные минимумы из K или же грамм на Γ определяются установкой kй последующий минимум λ_k быть инфимум номеров λ такой, что λK содержит k линейно-независимые векторы Γ. У нас есть 0 < λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λ_п < ∞.

Заявление

Последовательные минимумы удовлетворяют^[4][5][6]

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right)\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} \left(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma \right).}$

Доказательство

Базис линейно независимых векторов решетки б₁ , б₂ , ... б_п можно определить как г (б_j) = λ_j .

Оценка снизу доказывается рассмотрением выпуклого многогранник 2n с вершинами в ± б_j/ λ_j, внутри которого есть K и том, который 2^п/ п! λ₁ λ₂... λ_п умноженное на целое число, кратное примитивная клетка решетки (как видно из масштабирования многогранника на λ_j вдоль каждого базисного вектора, чтобы получить 2^п п-симплексы с точечными векторами решетки).

Чтобы доказать оценку сверху, рассмотрим функции ж_j(Икс) отправка точек Икс в ${\textstyle K}$ центроиду подмножества точек в ${\textstyle K}$ это можно записать как ${\textstyle x+\sum _{i=1}^{j-1}a_{i}b_{i}}$ для некоторых реальных чисел ${\textstyle a_{i}}$. Тогда преобразование координат ${\textstyle x'=h(x)=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{i-1})f_{i}(x)/2}$ имеет определитель Якоби ${\textstyle J=\lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{n}/2^{n}}$. Если ${\textstyle p}$ и ${\textstyle q}$ находятся в интерьер из ${\textstyle K}$ и ${\textstyle p-q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}}$(с ${\textstyle a_{k}\neq 0}$) тогда ${\textstyle (h(p)-h(q))=\sum _{i=0}^{k}c_{i}b_{i}\in \lambda _{k}K}$ с ${\textstyle c_{k}=\lambda _{k}a_{k}/2}$ , где включение в ${\textstyle \lambda _{k}K}$ (в частности, интерьер ${\textstyle \lambda _{k}K}$) обусловлено выпуклостью и симметрией. Но точки решетки внутри ${\textstyle \lambda _{k}K}$ по определению ${\textstyle \lambda _{k}}$, всегда выражается как линейная комбинация ${\textstyle b_{1},b_{2},\ldots b_{k-1}}$, поэтому любые две различные точки ${\textstyle K'=h(K)=\lbrace x'|h(x)=x'\rbrace }$ не могут быть разделены вектором решетки. Следовательно, ${\textstyle K'}$ должна быть заключена в примитивную ячейку решетки (имеющую объем ${\textstyle {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$) , и следовательно ${\textstyle {\text{vol}}(K)/J={\text{vol}}(K')\leq {\text{vol}}(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$.

Рекомендации

1. Сигел (1989) стр.6
2. Касселс (1957) стр.154
3. Касселс (1971) стр.103
4. Касселс (1957) стр.156
5. Кассель (1971), стр.203
6. Сигел (1989) стр.57

• Касселс, Дж. У. С. (1957). Введение в диофантово приближение. Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45. Издательство Кембриджского университета. Zbl  0077.04801.
• Касселс, Дж. У. С. (1997). Введение в геометрию чисел. Классика по математике (переиздание изд. 1971 г.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-61788-4.
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: обратные задачи и геометрия сумм. Тексты для выпускников по математике. 165. Springer-Verlag. С. 180–185. ISBN  0-387-94655-1. Zbl  0859.11003.
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 6. ISBN  3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020.
• Сигель, Карл Людвиг (1989). Комараволу С. Чандрасекхаран (ред.). Лекции по геометрии чисел. Springer-Verlag. ISBN  3-540-50629-2. Zbl  0691.10021.