Минимальные модели - Minimal models

В теоретическая физика, а минимальная модель или же Минимальная модель Вирасоро это двумерная конформная теория поля спектр которого построен из конечного числа неприводимых представлений Алгебра Вирасоро.Минимальные модели были классифицированы и решены, и было установлено, что они подчиняются Классификация ADE. ^[1]Термин минимальная модель может также относиться к рациональной CFT, основанной на алгебре, которая больше, чем алгебра Вирасоро, например W-алгебра.

Соответствующие представления алгебры Вирасоро

Представления

В минимальных моделях центральный заряд Алгебра Вирасоро принимает значения типа

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{(p-q)^{2} \over pq}\ .}$

куда ${\displaystyle p,q}$ взаимно простые целые числа такие, что ${\displaystyle p,q\geq 2}$Тогда конформные размерности вырожденных представлений равны

${\displaystyle h_{r,s}={\frac {(pr-qs)^{2}-(p-q)^{2}}{4pq}}\ ,\quad {\text{with}}\ r,s\in \mathbb {N} ^{*}\ ,}$

и они подчиняются личности

${\displaystyle h_{r,s}=h_{q-r,p-s}=h_{r+q,s+p}\ .}$

Спектры минимальных моделей состоят из неприводимых вырожденных низшего веса представлений алгебры Вирасоро, конформные размерности которых имеют тип ${\displaystyle h_{r,s}}$ с

${\displaystyle 1\leq r\leq q-1\quad ,\quad 1\leq s\leq p-1\ .}$

Такое представление ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}}$ является смежным классом Модуль Верма своим бесконечным числом нетривиальных подмодулей. Он унитарен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle |p-q|=1}$. При заданной центральной плате есть ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$ различные представления этого типа. Набор этих представлений или их конформных размерностей называется Стол кац с параметрами ${\displaystyle (p,q)}$. Таблица Каца обычно рисуется в виде прямоугольника размера ${\displaystyle (q-1)\times (p-1)}$, где каждое представление появляется дважды из-за соотношения

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}={\mathcal {R}}_{q-r,p-s}\ .}$

Правила фьюжн

Правила слияния многократно вырожденных представлений ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r,s}}$ кодируют ограничения из всех своих нулевых векторов. Следовательно, их можно вывести из правила слияния просто вырожденных представлений, которые кодируют ограничения из отдельных нулевых векторов.^[2] Явно правила слияния таковы:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{r_{1},s_{1}}\times {\mathcal {R}}_{r_{2},s_{2}}=\sum _{r_{3}{\overset {2}{=}}|r_{1}-r_{2}|+1}^{\min(r_{1}+r_{2},2q-r_{1}-r_{2})-1}\ \sum _{s_{3}{\overset {2}{=}}|s_{1}-s_{2}|+1}^{\min(s_{1}+s_{2},2p-s_{1}-s_{2})-1}{\mathcal {R}}_{r_{3},s_{3}}\ ,}$

где суммы идут с шагом два.

Классификация

Минималистичные модели A-серии: диагональный корпус

Для любых взаимно простых целых чисел ${\displaystyle p,q}$ такой, что ${\displaystyle p,q\geq 2}$, существует диагональная минимальная модель, спектр которой содержит по одной копии каждого отличного представления в таблице Каца:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{A-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{r=1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .}$

В ${\displaystyle (p,q)}$ и ${\displaystyle (q,p)}$ модели такие же.

OPE двух полей включает в себя все поля, которые разрешены правилами слияния соответствующих представлений.

Минималистичные модели серии D

Минималистичная модель серии D с центральным зарядом ${\displaystyle c_{p,q}}$ существует если ${\displaystyle p}$ или же ${\displaystyle q}$ даже и по крайней мере ${\displaystyle 6}$. Используя симметрию ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$мы предполагаем, что ${\displaystyle q}$ четно, тогда ${\displaystyle p}$ странно. Спектр

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 0\operatorname {mod} 4,\ q\geq 8}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}2}^{q-2}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,q}^{\text{D-series}}\ \ {\underset {q\equiv 2\operatorname {mod} 4,\ q\geq 6}{=}}\ \ {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\oplus {\frac {1}{2}}\bigoplus _{r{\overset {2}{=}}1}^{q-1}\bigoplus _{s=1}^{p-1}{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{q-r,s}\ ,}$

где суммы больше ${\displaystyle r}$ выполняется с шагом два. В любом заданном спектре каждое представление имеет кратность один, за исключением представлений типа ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}}$ если ${\displaystyle q\equiv 2\ \mathrm {mod} \ 4}$, кратность два. Эти представления действительно присутствуют в обоих членах нашей формулы для спектра.

OPE двух полей включает в себя все поля, которые разрешены правилами объединения соответствующих представлений и которые соблюдают сохранение диагональности: OPE одного диагонального и одного недиагонального поля дает только недиагональные поля, а OPE двух полей одного типа дает только диагональные поля. ^[3]Для этого правила одна копия представления ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{{\frac {q}{2}},s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{{\frac {q}{2}},s}}$считается диагональной, а другая копия - недиагональной.

Минимальные модели серии E

Существует три серии минимальных моделей серии E. Каждая серия существует для данного значения ${\displaystyle q\in \{12,18,30\},}$ для любого ${\displaystyle p\geq 2}$ это совпадает с ${\displaystyle q}$. (На самом деле это означает ${\displaystyle p\geq 5}$.) Используя обозначения ${\displaystyle |{\mathcal {R}}|^{2}={\mathcal {R}}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}}$, спектры читаются:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,12}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{1,s}\oplus {\mathcal {R}}_{7,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{4,s}\oplus {\mathcal {R}}_{8,s}\right|^{2}\oplus \left|{\mathcal {R}}_{5,s}\oplus {\mathcal {R}}_{11,s}\right|^{2}\right\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,18}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|{\mathcal {R}}_{9,s}\oplus 2{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\ominus 4\left|{\mathcal {R}}_{3,s}\right|^{2}\oplus \bigoplus _{r\in \{1,5,7\}}\left|{\mathcal {R}}_{r,s}\oplus {\mathcal {R}}_{18-r,s}\right|^{2}\right\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{p,30}^{\text{E-series}}={\frac {1}{2}}\bigoplus _{s=1}^{p-1}\left\{\left|\bigoplus _{r\in \{1,11,19,29\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\oplus \left|\bigoplus _{r\in \{7,13,17,23\}}{\mathcal {R}}_{r,s}\right|^{2}\right\}\ .}$

Примеры

Следующие минимальные модели серии A относятся к хорошо известным физическим системам:^[2]

• ${\displaystyle (p,q)=(3,2)}$ : тривиальный CFT,
• ${\displaystyle (p,q)=(5,2)}$ : Сингулярность края Ян-Ли,
• ${\displaystyle (p,q)=(4,3)}$ : критическая модель Изинга,
• ${\displaystyle (p,q)=(5,4)}$ : трикритическая модель Изинга,
• ${\displaystyle (p,q)=(6,5)}$ : тетракритическая модель Изинга.

Следующие минимальные модели серии D связаны с хорошо известными физическими системами:

• ${\displaystyle (p,q)=(6,5)}$ : 3 состояния Модель Поттса при критичности,
• ${\displaystyle (p,q)=(7,6)}$ : трикритическая модель Поттса с 3 состояниями.

Таблицы Kac этих моделей вместе с несколькими другими таблицами Kac с ${\displaystyle 2\leq q\leq 6}$, находятся:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline &1&2\end{array}}\\c_{3,2}=0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}1&0&-{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{5}}&0\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,2}=-{\frac {22}{5}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccc}2&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{16}}&0\\1&0&{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &1&2&3\end{array}}\\c_{4,3}={\frac {1}{2}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}2&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{5}}&-{\frac {1}{20}}&0\\1&0&-{\frac {1}{20}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {3}{4}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,3}=-{\frac {3}{5}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccc}3&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {1}{10}}&0\\2&{\frac {7}{16}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {3}{80}}&{\frac {7}{16}}\\1&0&{\frac {1}{10}}&{\frac {3}{5}}&{\frac {3}{2}}\\\hline &1&2&3&4\end{array}}\\c_{5,4}={\frac {7}{10}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}3&{\frac {5}{2}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {1}{7}}&-{\frac {1}{14}}&0\\2&{\frac {13}{16}}&{\frac {27}{112}}&-{\frac {5}{112}}&-{\frac {5}{112}}&{\frac {27}{112}}&{\frac {13}{16}}\\1&0&-{\frac {1}{14}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {9}{14}}&{\frac {10}{7}}&{\frac {5}{2}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,4}=-{\frac {13}{14}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|ccccc}4&3&{\frac {13}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{8}}&0\\3&{\frac {7}{5}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {2}{5}}\\2&{\frac {2}{5}}&{\frac {1}{40}}&{\frac {1}{15}}&{\frac {21}{40}}&{\frac {7}{5}}\\1&0&{\frac {1}{8}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {13}{8}}&3\\\hline &1&2&3&4&5\end{array}}\\c_{6,5}={\frac {4}{5}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}4&{\frac {15}{4}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {1}{28}}&0\\3&{\frac {9}{5}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {8}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {3}{35}}&{\frac {11}{20}}\\2&{\frac {11}{20}}&{\frac {3}{35}}&-{\frac {3}{140}}&{\frac {8}{35}}&{\frac {117}{140}}&{\frac {9}{5}}\\1&0&{\frac {1}{28}}&{\frac {3}{7}}&{\frac {33}{28}}&{\frac {16}{7}}&{\frac {15}{4}}\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,5}={\frac {11}{35}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{c|cccccc}5&5&{\frac {22}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {1}{7}}&0\\4&{\frac {23}{8}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {3}{8}}\\3&{\frac {4}{3}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {1}{21}}&{\frac {10}{21}}&{\frac {4}{3}}\\2&{\frac {3}{8}}&{\frac {1}{56}}&{\frac {5}{56}}&{\frac {33}{56}}&{\frac {85}{56}}&{\frac {23}{8}}\\1&0&{\frac {1}{7}}&{\frac {5}{7}}&{\frac {12}{7}}&{\frac {22}{7}}&5\\\hline &1&2&3&4&5&6\end{array}}\\c_{7,6}={\frac {6}{7}}\end{array}}}$

Связанные конформные теории поля

Осуществления смежных классов

Минималистичная модель серии А с индексами ${\displaystyle (p,q)}$ совпадает со следующим классом смежности Модели WZW:^[2]

${\displaystyle {\frac {SU(2)_{k}\times SU(2)_{1}}{SU(2)_{k+1}}}\ ,\quad {\text{where}}\quad k={\frac {q}{p-q}}-2\ .}$

Предполагая ${\displaystyle p>q}$, уровень ${\displaystyle k}$ является целым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle p=q+1}$ т.е. тогда и только тогда, когда минимальная модель унитарна.

Существуют и другие реализации определенных минимальных моделей, диагональных или нет, в качестве смежных классов моделей WZW, не обязательно основанные на группе ${\displaystyle SU(2)}$.^[2]

Обобщенные минимальные модели

За любую центральную плату ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$, существует диагональная КТП, спектр которой состоит из всех вырожденных представлений,

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigoplus _{r,s=1}^{\infty }{\mathcal {R}}_{r,s}\otimes {\bar {\mathcal {R}}}_{r,s}\ .}$

Когда центральный заряд стремится к ${\displaystyle c_{p,q}}$, обобщенные минимальные модели стремятся к соответствующей минимальной модели серии A.^[4] В частности, это означает, что вырожденные представления, не входящие в таблицу Каца, разделяются.

Теория Лиувилля

С Теория Лиувилля сводится к обобщенной минимальной модели, когда поля считаются вырожденными,^[4] он далее сокращается до минимальной модели серии A, когда центральный заряд затем направляется в ${\displaystyle c_{p,q}}$.

Более того, минимальные модели серии A имеют четко определенный предел как ${\displaystyle c\to 1}$: диагональная CFT с непрерывным спектром, называемая теорией Ранкеля-Уоттса,^[5] что совпадает с пределом теории Лиувилля, когда ${\displaystyle c\to 1^{+}}$.^[6]

Продукция минимальных моделей

Есть три случая минимальных моделей, которые являются продуктами двух минимальных моделей.^[7]На уровне их спектра отношения таковы:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{3,10}^{\text{D-series}}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{3,4}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{5,12}^{\text{E-series}}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2,5}^{\text{A-series}}\otimes {\mathcal {S}}_{2,7}^{\text{A-series}}={\mathcal {S}}_{7,30}^{\text{E-series}}\ .}$

Фермионные расширения минимальных моделей

Если ${\displaystyle q\equiv 0{\bmod {4}}}$, серии A и D ${\displaystyle (p,q)}$ каждая минимальная модель имеет фермионное расширение. Эти два фермионных расширения включают поля с полуцелыми спинами, и они связаны друг с другом операцией сдвига четности.^[8]

Рекомендации

1. А. Каппелли, J-B. Зубер, "А-Д-Е классификация конформных теорий поля", Scholarpedia
2. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля, 1997, ISBN  0-387-94785-X
3. И. Рункель, "Структурные константы для минимальных моделей Вирасоро серии D", hep-th / 9908046
4. С. Рибо, "Конформная теория поля на плоскости", arXiv: 1406.4290
5. I. Runkel, G. Watts, "Нерациональная CFT с c = 1 как предел минимальных моделей", arXiv: hep-th / 0107118
6. В. Шомерус, "Катящиеся тахионы из теории Лиувилля",arXiv: hep-th / 0306026
7. Т. Квелла, И. Рункель, Г. Уоттс, "Отражение и передача при конформных дефектах", arxiv: hep-th / 0611296
8. Рункель, Инго; Уоттс, Джерард (2020). «Фермионные КТП и классифицирующие алгебры». Журнал физики высоких энергий. 2020 (6): 25. arXiv:2001.05055. Bibcode:2020JHEP ... 06..025R. Дои:10.1007 / JHEP06 (2020) 025. S2CID  210718696.