Парадокс Милнера – Радо - Milner–Rado paradox

В теория множеств, раздел математики, Парадокс Милнера - Радо, найдено Эрик Чарльз Милнер и Ричард Радо  (1965 ), утверждает, что каждый порядковый номер ${\displaystyle \alpha }$ меньше чем преемник ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ некоторых количественное числительное ${\displaystyle \kappa }$ можно записать как объединение множеств Икс₁,Икс₂,... куда Икс_п имеет тип заказа в большинстве κ^п за п положительное целое число.

Доказательство

Доказательство проводится трансфинитной индукцией. Позволять ${\displaystyle \alpha }$ - предельный ординал (индукция тривиальна для последующих ординалов), и для каждого ${\displaystyle \beta <\alpha }$, позволять ${\displaystyle \{X_{n}^{\beta }\}_{n}}$ быть разделом ${\displaystyle \beta }$ удовлетворяющие требованиям теоремы.

Исправьте возрастающую последовательность ${\displaystyle \{\beta _{\gamma }\}_{\gamma <\mathrm {cf} \,(\alpha )}}$ финальный в ${\displaystyle \alpha }$ с ${\displaystyle \beta _{0}=0}$.

Примечание ${\displaystyle \mathrm {cf} \,(\alpha )\leq \kappa }$.

Определять:

${\displaystyle X_{0}^{\alpha }=\{0\};\ \ X_{n+1}^{\alpha }=\bigcup _{\gamma }X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }}$

Обратите внимание:

${\displaystyle \bigcup _{n>0}X_{n}^{\alpha }=\bigcup _{n}\bigcup _{\gamma }X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }=\bigcup _{\gamma }\bigcup _{n}X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }=\bigcup _{\gamma }\beta _{\gamma +1}\setminus \beta _{\gamma }=\alpha \setminus \beta _{0}}$

и так ${\displaystyle \bigcup _{n}X_{n}^{\alpha }=\alpha }$.

Позволять ${\displaystyle \mathrm {ot} \,(A)}$ быть тип заказа из ${\displaystyle A}$. Что касается типов заказов, ясно ${\displaystyle \mathrm {ot} (X_{0}^{\alpha })=1=\kappa ^{0}}$.

Отмечая, что наборы ${\displaystyle \beta _{\gamma +1}\setminus \beta _{\gamma }}$ образуют последовательную последовательность порядковых интервалов, и каждый ${\displaystyle X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }}$ хвостовой сегмент ${\displaystyle X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}}$ мы получаем это:

${\displaystyle \mathrm {ot} (X_{n+1}^{\alpha })=\sum _{\gamma }\mathrm {ot} (X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma })\leq \sum _{\gamma }\kappa ^{n}=\kappa ^{n}\cdot \mathrm {cf} (\alpha )\leq \kappa ^{n}\cdot \kappa =\kappa ^{n+1}}$

Рекомендации

• Milner, E.C .; Радо, Р. (1965), "Принцип ящика для порядковых чисел", Proc. Лондонская математика. Soc., Серия 3, 15: 750–768, Дои:10.1112 / плмс / с3-15.1.750, МИСТЕР  0190003
• Как доказать парадокс Милнера-Радо? - Обмен математическим стеком